名古屋大学 1999年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$n=4$ のとき $m(k_1,k_2,k_3,k_4)=2^{k_4}\{2^{k_1+k_2+k_3}-2^{k_2+k_3}-2^{k_3}-1\}$ である。括弧の中は「偶数 $-$ 偶数 $-$ 偶数 $-1$」なので奇数である。$1999$ は奇数だから、$2^{k_4}$ の部分は $1$ でなければならず、$k_4=0$ である。

したがって $2^{k_1+k_2+k_3}-2^{k_2+k_3}-2^{k_3}-1=1999$ であり、移項して $2^{k_3}(2^{k_1+k_2}-2^{k_2}-1)=2000$ となる。ここで括弧内は奇数である。一方 $2000=2^4\cdot 125$ だから $k_3=4$ であり、奇数部分について $2^{k_1+k_2}-2^{k_2}-1=125$ すなわち $2^{k_2}(2^{k_1}-1)=126$ である。$2^{k_1}-1$ は奇数で、$126=2\cdot 63$ だから $k_2=1,$ $2^{k_1}-1=63$ となる。よって $k_1=6$ である。したがって $\boxed{(k_1,k_2,k_3,k_4)=(6,1,4,0)}$ である。

(2)

$n=2$ のとき $m(k_1,k_2)=2^{k_1+k_2}-2^{k_2}=2^{k_2}(2^{k_1}-1)$ である。ここで $2^{k_1}-1$ は奇数である。したがって $m(k_1,k_2)$ を2で割れるだけ割った回数、すなわち2の累乗部分から $k_2$ が一意に決まる。 $k_2$ が決まれば、奇数部分 $2^{k_1}-1$ も一意に決まる。関数 $k_1\mapsto 2^{k_1}-1$ は自然数 $k_1$ に対して単調に増加するので、$k_1$ も一意に決まる。よって $m(k_1,k_2)=m(l_1,l_2)$ ならば $k_1=l_1,k_2=l_2$ である。

(3)

$n\geqq 3$ とする。定義式から末尾の $2^{k_n}$ をくくると $m(k_1,k_2,\dots ,k_n)=2^{k_n}\{m(k_1,k_2,\dots ,k_{n-1})-1\}$ である。ここで、元の条件では $k_{n-1}\geqq 1$ なので、$m(k_1,k_2,\dots ,k_{n-1})$ は偶数である。したがって $m(k_1,k_2,\dots ,k_{n-1})-1$ は奇数である。

同様に $m(l_1,l_2,\dots ,l_n)=2^{l_n}\{m(l_1,l_2,\dots ,l_{n-1})-1\}$ で、括弧内は奇数である。いま $m(k_1,k_2,\dots ,k_n)=m(l_1,l_2,\dots ,l_n)$ と仮定すると、両辺の2の累乗部分を比べて $k_n=l_n$ が分かる。さらに奇数部分を比べて $m(k_1,k_2,\dots ,k_{n-1})-1=m(l_1,l_2,\dots ,l_{n-1})-1$ だから $m(k_1,k_2,\dots ,k_{n-1})=m(l_1,l_2,\dots ,l_{n-1})$ である。

この議論を後ろから繰り返すと、$k_n=l_n,k_{n-1}=l_{n-1},\dots ,k_3=l_3$ が順に得られ、最後に $m(k_1,k_2)=m(l_1,l_2)$ が残る。これは(2)より $k_1=l_1,k_2=l_2$ を与える。したがって $\boxed{k_j=l_j(j=1,2,\dots ,n)}$ である。