名古屋大学 1999年度理系数学第3問解答・解説

問題

$N$ 個 $(N ≧ 2)$ の箱の中に1回に1つずつ無作為に玉を入れてゆく．玉が2つ入った箱ができたら，そこでその手続きを中止する．ちょうど $k$ 回目で玉が2つ入った箱ができる確率を $P (N, k)$ とする．

(1) $2 ≦ k ≦ N + 1$ のとき， $P (N, k)$ を求めよ．

(2) $N \to \infty lim \frac{1}{N} lo g P (2 N, N + 1)$ を区分求積法を用いて求めよ．

出典：名古屋大学 1999年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

ちょうど $k$ 回目に初めて重複が起こるには、最初の $k - 1$ 回はすべて異なる箱に入り、 $k$ 回目だけが既に使われた箱に入る必要がある。この積をそのまま確率にする。(2)では $P (2 N, N + 1)$ を積の形に直し、対数を取って和に変換する。最後に $j / N$ を変数とする区分求積へ移し、残る $1/ N$ 倍の定数項が0に消えることを確認する。

解答

(1)

ちょうど $k$ 回目で初めて玉が2つ入った箱ができるには、 $1$ 回目から $k - 1$ 回目まではすべて異なる箱に入らなければならない。

1回目の入れ方は任意で確率 $N / N$ 、2回目は1回目と違う箱を選ぶので確率 $(N - 1) / N$ 、以下同様に、 $k - 1$ 回目はそれまでの $k - 2$ 個と違う箱を選ぶので確率 $(N - k + 2) / N$ である。そのうえで、 $k$ 回目には既に玉が入っている $k - 1$ 個の箱のどれかを選べばよいので、その確率は $(k - 1) / N$ である。

したがって、 $2 ≦ k ≦ N + 1$ のとき $P (N, k) = \frac{N ( N - 1 ) \dots ( N - k + 2 ) ( k - 1 )}{N ^{k}}$ である。すなわち $P (N, k) = \frac{( k - 1 ) N ( N - 1 ) \dots ( N - k + 2 )}{N ^{k}}$ である。

(2)

(1)に $N$ の代わりに $2 N$ 、 $k = N + 1$ を代入する。すると $P (2 N, N + 1) = \frac{( 2 N ) ( 2 N - 1 ) \dots ( N + 1 ) N}{( 2 N ) ^{N + 1}}$ である。よって

P (2 N, N + 1) = {j = 0 \prod N - 1 (1 - \frac{j}{2 N})} \cdot \frac{1}{2}

と書ける。対数を取り、 $N$ で割ると

\frac{1}{N} lo g P (2 N, N + 1) = \frac{1}{N} j = 0 \sum N - 1 lo g (1 - \frac{j}{2 N}) + \frac{1}{N} lo g \frac{1}{2}

である。

第2項は $\frac{1}{N} lo g \frac{1}{2} \to 0$ である。第1項は、 $x_{j} = j / N$ と見れば $\frac{1}{N} \sum_{j = 0}^{N - 1} lo g (1 - \frac{x _{j}}{2})$ であり、区分求積法により $\int_{0}^{1} lo g (1 - \frac{x}{2}) d x$ に収束する。

この積分を計算する。 $u = 1 - x /2$ とおくと $d x = - 2 d u$ で、 $x = 0$ のとき $u = 1$ 、 $x = 1$ のとき $u = 1/2$ である。したがって $\int_{0}^{1} lo g (1 - \frac{x}{2}) d x = 2 \int_{1/2}^{1} lo g u d u$ である。部分積分または $\int lo g u d u = u lo g u - u$ より $2 \int_{1/2}^{1} lo g u d u = 2 [u lo g u - u]_{1/2}^{1}$ $= 2 {- 1 - (- \frac{1}{2} lo g 2 - \frac{1}{2})} = lo g 2 - 1$ である。よって求める極限は $lo g 2 - 1$ である。

名古屋大学 1999年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1999年度
理系数学第3問