問題
曲線上を動く点（ただし，）がある．点におけるの接線ととのもう1つの交点をとし，点におけるの接線ととのもう1つの交点をとする．このとき，のとりうる値の範囲を求めよ．
出典：名古屋大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
三次曲線 の接線と曲線のもう1つの交点は、接点が重解になることを使って因数分解で求める。点 が分かれば、 は における接線方向、 は における接線方向なので、それぞれの傾きは , になる。角の正接を の式にし、その最大値から余弦の範囲を決める。
解答
点 における の接線を求める。導関数は だから、接線の方程式は すなわち である。これと の交点は を満たす。左辺に移して因数分解すると である。接点 は重解であり、もう1つの交点は である。
同様に、点 の 座標は なので、 における接線の傾きは である。実際にもう1つの交点を求めると となる。
したがって である。 なので とおくと、なす角 について である。
範囲を出すには、2直線の傾き , のなす角を使う。 ではどちらの傾きも正で、 だから である。この関数を とおくと
である。よって は で増加し、 で減少する。最大値は である。 なので、 が最大のとき は最小になる。したがって である。等号は 、すなわち のときに成り立つ。また または のとき だから であるが、 では2本の接線の傾きが異なるので にはならない。よって求める範囲は である。