問題
君はグーのカードを1枚，チョキのカードを4枚持っている．君はパーのカードを1枚，チョキのカードを4枚持っている．2人はカードを無作為に1枚ずつ出して，いずれかが勝つまでじゃんけんを続ける．以下の問いに答えよ．
(1) 1度出したカードを手に戻さない場合，君が勝つ確率を求めよ．
(2) 出したカードを手に戻す場合，回目に君が勝つ確率を求めよ．
(3) 出したカードを手に戻す場合，回目までに君が勝つ確率を求めよ．また，を限りなく大きくしたら，はいくらに近づくか．
(4) 出したカードを手に戻しながら，君の勝ち負けにかかわらず君が2回勝つまでじゃんけんを続けた場合，回目に君が2勝目をあげる確率を求めよ．ただし，である．
方針
カードを戻さない場合は、AのグーとBのパーが5回の並びのどこに現れるかだけで勝敗が決まる。戻す場合は各回が独立で、1回ごとの確率をA勝ち、B勝ち、あいこに分ける。Bが初めて勝つ確率はあいこの等比数列、Aが2勝目をあげる確率は「最後がA勝ち、前の 回にA勝ちがちょうど1回」の数え上げとして処理する。
解答
(1)
カードを戻さない場合、A君のグーが5回のうち何回目に出るか、B君のパーが5回のうち何回目に出るかを考えればよい。その他のカードはすべてチョキである。
A君のグーとB君のパーが同じ回に出れば、その回はグー対パーなのでB君が勝つ。逆に、出る回が異なる場合、先に特殊なカードが出た回では、A君のグー対B君のチョキ、またはA君のチョキ対B君のパーとなり、いずれもA君が勝つ。したがってB君が勝つのは、A君のグーの位置とB君のパーの位置が一致する場合だけである。
B君のパーの位置は5通りで、そのうちA君のグーの位置と一致するのは1通りだから、求める確率は である。
(2)
カードを戻す場合、各回の試行は独立である。1回のじゃんけんでB君が勝つのは、A君がグー、B君がパーを出す場合だけなので、その確率は である。また、あいこになるのは両者がチョキを出す場合だけなので、その確率は である。 回目にB君が勝つには、最初の 回は勝敗がつかず、すべてあいこであり、 回目にB君が勝てばよい。したがって である。
(3)
回目までにB君が勝つ確率は、(2)を 回目から 回目まで足せばよい。よって である。これは等比級数だから
である。したがって である。
また、 より だから である。
(4)
カードを戻すので各回は独立である。1回でA君が勝つのは、A君がグーでB君がチョキを出す場合、またはA君がチョキでB君がパーを出す場合である。したがってA君が1回で勝つ確率は である。A君が勝たない確率は である。 回目にA君が2勝目をあげるには、 回目はA君が勝ち、最初の 回のうちA君が勝った回がちょうど1回でなければならない。最初の 回のうち、その1回を選ぶ方法は 通りである。したがって求める確率は
である。すなわち である。