名古屋大学 1999年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．

(1) $y = f (x)$ のグラフの $x = c_{n}$ における接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $c_{n + 1}$ とする．

c_{n + 1} = c_{n} - \frac{f ( c _{n} )}{f ^{'} ( c _{n} )}

であることを示せ，ただし， $f^{'} (c_{n}) \neq = 0$ とする．

(2)

f (x) = {x (x - 1) - x (x + 1) (x ≧ 0) (x < 0)

とする．初項 $c_{1}$ を与えると(1)の漸化式により数列 ${c_{n}}$ が定まる．

(a) 初項 $c_{1}$ と第2項 $c_{2}$ の符号が異なるような $c_{1}$ の値の範囲を求めよ．

(b) 任意の $n$ $(≧ 1)$ に対して $c_{n + 1} + c_{n} = 0$ となる $c_{1}$ の値を求めよ．

出典：名古屋大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)は接線の方程式に $y = 0$ を代入して交点の $x$ 座標を求める。(2)では $c_{n}$ の符号によって関数と導関数が変わるので、写像 $T (x) = c_{n + 1}$ を $x ≧ 0$ , $x < 0$ に分けて明示する。特に $∣ x ∣ < 1/2$ では符号が反転し、 $∣ T (x) ∣ = ∣ x ∣^{2} / (1 - 2∣ x ∣)$ となるため、 $∣ T (x) ∣ < ∣ x ∣$ , $∣ T (x) ∣ = ∣ x ∣$ , $∣ T (x) ∣ > ∣ x ∣$ の境目 $∣ x ∣ = 1/3$ で分類する。

解答

(1)

$x = c_{n}$ における接線の方程式は $y = f^{'} (c_{n}) (x - c_{n}) + f (c_{n})$ である。この接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $c_{n + 1}$ とすると、その点では $y = 0$ だから $0 = f^{'} (c_{n}) (c_{n + 1} - c_{n}) + f (c_{n})$ である。 $f^{'} (c_{n}) \neq = 0$ より $f^{'} (c_{n}) (c_{n + 1} - c_{n}) = - f (c_{n})$ となるので $c_{n + 1} = c_{n} - \frac{f ( c _{n} )}{f ^{'} ( c _{n} )}$ である。

(2)

まず漸化式を具体的に求める。 $x ≧ 0$ では $f (x) = x (x - 1), f^{'} (x) = 2 x - 1$ だから、 $x \neq = 1/2$ のとき $T (x) = x - \frac{x ( x - 1 )}{2 x - 1} = \frac{x ^{2}}{2 x - 1}$ である。 $x < 0$ では $f (x) = - x (x + 1), f^{'} (x) = - 2 x - 1$ だから、 $x \neq = - 1/2$ のとき $T (x) = x - \frac{- x ( x + 1 )}{- 2 x - 1} = \frac{x ^{2}}{2 x + 1}$ である。ここで $c_{n + 1} = T (c_{n})$ である。

(a)

$c_{1} > 0$ のとき $c_{2} = \frac{c _{1}^{2}}{2 c _{1} - 1}$ である。分子は正なので、 $c_{2} < 0$ となるのは $2 c_{1} - 1 < 0$ すなわち $0 < c_{1} < \frac{1}{2}$ のときである。 $c_{1} < 0$ のとき $c_{2} = \frac{c _{1}^{2}}{2 c _{1} + 1}$ である。分子は正なので、 $c_{2} > 0$ となるのは $2 c_{1} + 1 > 0$ すなわち $- \frac{1}{2} < c_{1} < 0$ のときである。 $c_{1} = 0$ では符号は異ならず、 $c_{1} = \pm 1/2$ では漸化式が定義できない。よって $- \frac{1}{2} < c_{1} < 0, 0 < c_{1} < \frac{1}{2}$ である。

(b)

任意の $n$ について $c_{n + 1} + c_{n} = 0$ となるには、まず $c_{2} = - c_{1}$ が必要である。 $c_{1} > 0$ のとき $\frac{c _{1}^{2}}{2 c _{1} - 1} = - c_{1}$ である。 $c_{1} \neq = 0$ だから両辺を $c_{1}$ で割って $\frac{c _{1}}{2 c _{1} - 1} = - 1$ となり、 $c_{1} = \frac{1}{3}$ を得る。 $c_{1} < 0$ のとき $\frac{c _{1}^{2}}{2 c _{1} + 1} = - c_{1}$ であり、同様に $\frac{c _{1}}{2 c _{1} + 1} = - 1$ から $c_{1} = - \frac{1}{3}$ を得る。

実際、 $c_{n} = 1/3$ なら $T (\frac{1}{3}) = - \frac{1}{3}$ であり、 $c_{n} = - 1/3$ なら $T (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ である。したがってこの2つの値では $1/3$ と $- 1/3$ が交互に現れ、任意の $n$ で $c_{n + 1} + c_{n} = 0$ が成り立つ。よって $c_{1} = \pm \frac{1}{3}$ である。

(c)

$∣ c_{n} ∣ < 1/2$ で $c_{n} \neq = 0$ のとき、(a)で見たように符号は反転し、絶対値は $∣ c_{n + 1} ∣ = \frac{∣ c _{n} ∣ ^{2}}{1 - 2∣ c _{n} ∣}$ となる。 $r = ∣ c_{n} ∣$ とおくと、 $0 < r < 1/2$ において $\frac{r ^{2}}{1 - 2 r} < r$ は $r < 1 - 2 r$ すなわち $r < \frac{1}{3}$ と同値である。また $r = 1/3$ では絶対値が変わらず、 $r > 1/3$ では絶対値が大きくなる。

したがって、 $∣ c_{1} ∣ < 1/3$ ならば $∣ c_{n + 1} ∣ < ∣ c_{n} ∣$ が続き、 $∣ c_{n} ∣$ は0以上の単調減少列になる。極限を $L$ とすると $0 ≦ L < 1/3$ であり、漸化式の絶対値の式から $L = \frac{L ^{2}}{1 - 2 L}$ を満たす。これより $L (1 - 3 L) = 0$ だが、 $L < 1/3$ だから $L = 0$ である。よって $c_{n} \to 0$ である。 $c_{1} = 0$ の場合も明らかに $c_{n} = 0$ が続くので含まれる。

一方、 $∣ c_{1} ∣ = 1/3$ では(b)のように $1/3$ と $- 1/3$ の2周期になり、0には収束しない。 $1/3 < ∣ c_{1} ∣ < 1/2$ では、少なくとも次の絶対値がより大きく、しかも $1/3$ より小さくなることはない。実際、 $∣ c_{n} ∣$ が $(1/3, 1/2)$ にある限り次の絶対値は増加し、 $∣ c_{n} ∣ ≧ 1/2$ になると次項も $∣ c_{n + 1} ∣ > 1/2$ であり、0に近づく範囲には戻らない。また $∣ c_{1} ∣ > 1/2$ の場合も同様に $∣ c_{n} ∣ > 1/2$ が続くので、0には収束しない。 $c_{1} = \pm 1/2$ では漸化式が定義できない。

以上より、数列が0に収束する初項の範囲は $- \frac{1}{3} < c_{1} < \frac{1}{3}$ である。

名古屋大学 1999年度後期・理系数学 後期第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(a)

(b)

(c)

名古屋大学 1999年度
後期・理系数学後期第3問