問題
同一直線上にない異なる3点，，に対し，次の関係
を満たす点がある．このとき，次の問いに答えよ．
(1) が，の範囲の任意の値をとるとき，点の集合はどのような図形となるか．
(2) 線分をの比に内分する点をとする．点が線分上にあるときのの値を求めよ．また，そのときのを求めよ．
(3) であるとき，線分がを2等分するようなの値を求めよ．
方針
位置ベクトルで条件式を解き、 を と、 上の固定点 の1次結合として表す。 により係数の符号と動く向きが決まり、点の集合は半直線になる。(2)は の に関する係数を、直線 上の係数比と比較する。(3)は から角の二等分線が の中点を通ることを使い、 と の係数が等しくなる条件を読む。
解答
(1)
点 の位置ベクトルをそれぞれ とする。条件は である。整理すると だから、 より で である。
ここで、点 を で定める。これは を に内分する点である。この を使うと である。さらに だから と書ける。 なので である。したがって は を満たす点全体である。これは、点 を端点とし、点 を通る半直線である。ただし は取れないので、点 自身は含まない。
よって答えは、 を に内分する点 に対し、 である。
(2)
は を に内分するから である。直線 上の点は、 と の1次結合で表される。したがって に関する係数で見ると、直線 上では の係数と の係数の比が になる。
一方、 は である。よって が直線 上にあるには でなければならない。したがって である。
このとき である。また
だから である。線分 上でこの形に書かれているので である。よって である。
(3)
であるから、三角形 は頂点 を頂点とする二等辺三角形である。このとき の二等分線は、辺 の中点を通る。
したがって、 がこの二等分線上にあるには、 を の係数で表したとき、 と の係数が等しければよい。すなわち である。 なので分母は0ではなく、 を得る。よって である。