名古屋大学 1999年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．ただし， $m$ ， $n$ ， $N$ は正の整数である．

(1) 次式を証明せよ．

\int_{0}^{π} sin m x sin n x d x = {\frac{π}{2} 0 (m = n) (m \neq = n)

(2) 次式を証明せよ．

\int_{0}^{π} x sin m x d x = (- 1)^{m + 1} \frac{π}{m}

(3) 領域 $0 ≦ x ≦ π$ において，曲線

y = ∣ x - a_{1} sin x - a_{2} sin 2 x - \dots\dots - a_{N} sin N x ∣

と $x$ 軸で囲まれた領域を $x$ 軸周りに1回転してできる立体の体積を最小にする係数 $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{N}$ の値を求めよ．

出典：名古屋大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は積和公式で $m = n$ と $m \neq = n$ を分けて積分する。(2)は部分積分で端点の $cos mπ$ だけが残ることを示す。(3)では回転体の体積が $π \int_{0}^{π} (\dots)^{2} d x$ であり、絶対値は二乗で消える。直交性により交差項が消えるので、各 $a_{m}$ について独立に平方完成し、(2)で求めた係数を代入する。

解答

(1)

積和公式より $2 sin m x sin n x = cos (m - n) x - cos (m + n) x$ である。

まず $m \neq = n$ のとき、 $m - n$ も $m + n$ も0でない整数である。したがって $\int_{0}^{π} cos (m - n) x d x = [\frac{s i n ( m - n ) x}{m - n}]_{0}^{π} = 0$ であり、同様に $\int_{0}^{π} cos (m + n) x d x = 0$ である。よって $\int_{0}^{π} sin m x sin n x d x = 0$ である。

次に $m = n$ のときは $\int_{0}^{π} sin^{2} m x d x = \int_{0}^{π} \frac{1 - c o s 2 m x}{2} d x$ である。 $cos 2 m x$ の積分は0なので $\int_{0}^{π} sin^{2} m x d x = \frac{π}{2}$ である。以上より

\int_{0}^{π} sin m x sin n x d x = {\frac{π}{2} 0 (m = n), (m \neq = n)

である。

(2)

部分積分を用いる。 $u = x$ , $d v = sin m x d x$ とすると、 $d u = d x$ , $v = - cos m x / m$ だから

\int_{0}^{π} x sin m x d x = [- \frac{x cos m x}{m}]_{0}^{π} + \frac{1}{m} \int_{0}^{π} cos m x d x

である。第2項は $\frac{1}{m} [\frac{s i n m x}{m}]_{0}^{π} = 0$ である。したがって

\int_{0}^{π} x sin m x d x = - \frac{π cos mπ}{m} = \frac{( - 1 ) ^{m + 1} π}{m}

である。よって $\int_{0}^{π} x sin m x d x = (- 1)^{m + 1} \frac{π}{m}$ である。

(3)

回転体の体積を $V$ とする。半径は $∣ x - a_{1} sin x - a_{2} sin 2 x - \dots - a_{N} sin N x ∣$ であるが、体積では半径の2乗を使うので絶対値は消える。したがって $V = π \int_{0}^{π} (x - \sum_{m = 1}^{N} a_{m} sin m x)^{2} d x$ である。 $V / π$ を展開すると

\int_{0}^{π} x^{2} d x - 2 m = 1 \sum N a_{m} \int_{0}^{π} x sin m x d x + m = 1 \sum N n = 1 \sum N a_{m} a_{n} \int_{0}^{π} sin m x sin n x d x

である。(1)より $m \neq = n$ の交差項は消え、 $m = n$ の項だけが残るので

\frac{V}{π} = \int_{0}^{π} x^{2} d x - 2 m = 1 \sum N a_{m} \int_{0}^{π} x sin m x d x + \frac{π}{2} m = 1 \sum N a_{m}^{2}

である。

(2)を代入すると、 $a_{m}$ に関係する部分は $\frac{π}{2} a_{m}^{2} - 2 a_{m} \cdot \frac{( - 1 ) ^{m + 1} π}{m}$ である。これは $\frac{π}{2} (a_{m} - \frac{2 ( - 1 ) ^{m + 1}}{m})^{2}$ に定数を加えた形である。したがって体積が最小になるのは、各 $m = 1, 2, \dots, N$ について $a_{m} = \frac{2 ( - 1 ) ^{m + 1}}{m}$ のときである。

よって求める係数は $a_{m} = \frac{2 ( - 1 ) ^{m + 1}}{m} (m = 1, 2, \dots, N)$ である。

名古屋大学 1999年度後期・理系数学 後期第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 1999年度
後期・理系数学後期第2問