名古屋大学 1998年度文系数学第3問(b) 解答・解説

問題

2つの実数 $a$ ， $b$ $(a \neq = - \frac{1}{2})$ に対し， $A_{1} = (a b 0 a)$ とし， $E$ を単位行列とする．

(1) 等式 $A_{2} (E + 2 A_{1}) = - A_{1}$ を満たす行列 $A_{2}$ を求めよ．

(2) 自然数 $n$ に対して，等式 $A_{n + 1} (E + 2 A_{n}) = - A_{n}$ により順に $A_{2}, A_{3}, \dots\dots$ を定める． $A_{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1998年度前期日程第2次学力試験文系第3問(b)

方針

$E + 2 A_{n}$ をひとまとまりとして見ると、与えられた漸化式は逆行列を取る形に変わる。まず $E + 2 A_{1}$ が逆行列をもつことを $a \neq = - 1/2$ から確認し、 $A_{2}$ を直接計算する。その後 $B_{n} = E + 2 A_{n}$ とおき、 $B_{n + 1} = B_{n}^{- 1}$ を導いて周期2であることを示す。

解答

(1)

$d = 1 + 2 a$ とおく。仮定 $a \neq = - 1/2$ より $d \neq = 0$ である。まず

E + 2 A_{1} = (d 2 b 0 d)

であるから

(E + 2 A_{1})^{- 1} = \frac{1}{d} - \frac{2 b}{d ^{2}} 0 \frac{1}{d}

である。等式 $A_{2} (E + 2 A_{1}) = - A_{1}$ の右から $(E + 2 A_{1})^{- 1}$ をかけると $A_{2} = - A_{1} (E + 2 A_{1})^{- 1}$ なので

A_{2} = - (a b 0 a) \frac{1}{d} - \frac{2 b}{d ^{2}} 0 \frac{1}{d}

である。成分を計算すると、左下成分は

- (\frac{b}{d} - \frac{2 ab}{d ^{2}}) = - \frac{b ( d - 2 a )}{d ^{2}} = - \frac{b}{d ^{2}}

となる。したがって

A_{2} = - \frac{a}{1 + 2 a} - \frac{b}{( 1 + 2 a ) ^{2}} 0 - \frac{a}{1 + 2 a}

である。

(2)

$B_{n} = E + 2 A_{n}$ とおく。(1)で $B_{1}$ は逆行列をもつ。漸化式より $A_{n + 1} B_{n} = - A_{n}$ であるから、 $B_{n}$ が逆行列をもつとき $A_{n + 1} = - A_{n} B_{n}^{- 1}$ である。よって $B_{n + 1} = E + 2 A_{n + 1} = E - 2 A_{n} B_{n}^{- 1}$ である。ここで $E = B_{n} B_{n}^{- 1}$ と書けば $B_{n + 1} = (B_{n} - 2 A_{n}) B_{n}^{- 1} = E B_{n}^{- 1} = B_{n}^{- 1}$ となる。したがって $B_{n + 2} = B_{n + 1}^{- 1} = B_{n}$ であり、 $A_{n + 2} = A_{n}$ である。

ゆえに $A_{n}$ は奇数番目と偶数番目で交互に現れ、

A_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ (a b 0 a) - \frac{a}{1 + 2 a} - \frac{b}{( 1 + 2 a ) ^{2}} 0 - \frac{a}{1 + 2 a} (n が奇数), (n が偶数)

である。

別解。各 $A_{n}$ は

A_{n} = (x_{n} y_{n} 0 x_{n})

の形を保つ。すると $E + 2 A_{n}$ も同じ形で、上の計算は数列 $x_{n}, y_{n}$ の計算に分けられる。特に $1 + 2 x_{n + 1} = \frac{1}{1 + 2 x _{n}}$ となるので、 $1 + 2 x_{n}$ は2周期である。左下成分も同様に逆行列の左下成分が交互に戻るため、結局 $A_{n + 2} = A_{n}$ が得られる。行列全体で $B_{n}$ を使う解法の方が記述は短いが、成分で見ても同じ周期性を確認できる。

名古屋大学 1998年度文系数学 第3問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1998年度
文系数学第3問(b)