問題
座標平面上に放物線と直線を考える．
(1) 放物線と直線が異なる2個の共有点を持つようなの範囲を求めよ．
(2) は(1)で求めた条件を満たすとして，さらにとする．(1)の2つの共有点を，とし，を原点とするとき，三角形の面積を最大にするの値，およびそのときの面積を求めよ．
出典：名古屋大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
共有点の有無は、直線を放物線へ代入して得る二次方程式の判別式で判定する。面積は、2交点の座標を根 として行列式で表すと、根の差だけを使う形になる。最大化では と判別式の範囲を忘れず、正の量 を三次式として調べ、端点では面積が に近づくことまで確認する。
解答
(1)
共有点の 座標は を満たす。整理すると である。この二次方程式が異なる2個の実数解をもつことが、放物線と直線 が異なる2個の共有点をもつことと同値である。判別式を とすると だから、求める条件は すなわち である。
(2)
2つの共有点の 座標を とする。各点は直線 上にあるので と書ける。したがって
である。ここで であり、また根の差は
となる。よって面積を とおくと である。 なので、 の最大化は の最大化と同じである。 とおくと である。区間 での候補は である。さらに は で増加し、 で減少する。また両端では面積は に近づく。したがって最大は でとる。このとき
である。
別解。面積の式は、底辺を弦 、高さを原点から直線 までの距離としても得られる。直線を と見ると、原点からの距離は である。また、2点の 座標差が で、直線の傾きが だから である。よって
となり、以後は上と同じ最大化に帰着する。