問題
座標平面上に4点，，，を頂点とする正方形を考え，この正方形の頂点上を点が1秒ごとに1つの頂点から隣の頂点に移動しているとする．さらに，点は，軸と平行な方向の移動について確率，軸と平行な方向の移動について確率で移動しているものとする．最初に点が頂点にいたとするとき，秒後に頂点，にいる確率をそれぞれ，とする．
(1) ，，，を求めよ．
(2) を求めよ．
方針
各移動は、横方向なら 座標の偶奇、縦方向なら 座標の偶奇を反転させると考える。出発点 に戻るか対角の に行くかは、偶数秒後の横移動回数の偶奇だけで決まる。したがって前半は直接数え、後半は二項展開の偶数項和を と の和から取り出す。
解答
(1)
とおく。横方向の移動は確率 、縦方向の移動は確率 で起こる。
2秒後に にいるには、2回とも横方向に動くか、2回とも縦方向に動けばよい。したがって である。2秒後に にいるには、横方向と縦方向を1回ずつ行えばよいので である。
4秒後について考える。4回のうち横方向に動いた回数を とする。4秒後に にいるのは、横移動回数も縦移動回数も偶数のときであり、4秒後なのでこれは が偶数であることと同じである。よって
である。一方、 にいるのは横移動回数が奇数のときなので である。
(2)
秒後の横移動回数を とする。出発点が で、合計移動回数が偶数なので、 が偶数なら 、 が奇数なら にいる。したがって である。
偶数項だけを取り出すために と を加える。奇数項が消え、偶数項が2倍になるから である。ゆえに である。
別解。2秒を1単位として見ると、 と の間だけを移る過程になる。2秒で にとどまる確率は 、 に移る確率は である。したがって差 は、2秒進むごとに 倍される。 と合わせると、同じく を得る。