名古屋大学 1998年度文系数学第3問(a) 解答・解説

問題

$N$ を自然数とし，複素数 $z = cos θ + i sin θ$ は $z^{N} = 1$ を満たすとして，以下の級数和 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ の値を求めよ．ただし，ここで $i$ は虚数単位 $(i^{2} = - 1)$ である．

(1) $S_{1} = 1 + z + z^{2} + \dots + z^{N - 1}$

(2) $S_{2} = 1 + cos θ + cos 2 θ + \dots + cos (N - 1) θ$

出典：名古屋大学 1998年度前期日程第2次学力試験文系第3問(a)

方針

$z^{N} = 1$ から $z$ は1の $N$ 乗根である。 $S_{1}$ は初項1、公比 $z$ の等比数列として、 $z = 1$ と $z \neq = 1$ を分ける。 $S_{2}$ は各項 $z^{k} = cos k θ + i sin k θ$ の実部の和なので、 $S_{1}$ の実部として結論を読む。

解答

(1)

まず $z = 1$ の場合を分ける。このとき $S_{1} = 1 + 1 + \dots + 1 = N$ である。

次に $z \neq = 1$ とする。等比数列の和をそのまま用いると $(1 - z) S_{1} = (1 + z + \dots + z^{N - 1}) - (z + z^{2} + \dots + z^{N}) = 1 - z^{N}$ である。仮定より $z^{N} = 1$ だから $(1 - z) S_{1} = 0$ となる。いま $z \neq = 1$ なので $1 - z \neq = 0$ であり、 $S_{1} = 0$ である。したがって

S_{1} = {N 0 (z = 1), (z \neq = 1)

である。

(2)

$z = cos θ + i sin θ$ であるから、整数 $k$ について $z^{k} = cos k θ + i sin k θ$ である。したがって

S_{1} = k = 0 \sum N - 1 z^{k} = k = 0 \sum N - 1 cos k θ + i k = 0 \sum N - 1 sin k θ

となり、 $S_{2}$ は $S_{1}$ の実部である。よって(1)より

S_{2} = {N 0 (z = 1), (z \neq = 1)

である。

名古屋大学 1998年度文系数学 第3問(a)

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1998年度
文系数学第3問(a)