問題
4個の黒の立方体ブロックと6個の白の立方体ブロックを無作為に横一列に並べる．列の中で黒ブロックが連続している部分を黒列部分と呼び，そのブロック数を黒部分列の長さとする．ただし，連続しない黒ブロックは長さ1の黒部分列とする．同様に，白部分列とその長さを定義する．最も長い黒部分列の長さを，最も長い白部分列の長さをとして，，，となる確率をそれぞれ求めよ．
出典：名古屋大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期第4問
方針
全体は10個の位置から黒4個の位置を選ぶ通りである。黒列部分の個数で場合分けし、黒列長は正の整数の和4、白列長は両端を0以上、内部を正の整数として和6に分配する。各場合でとの最大値を調べ、, , の数を表にまとめる。表の数は、黒列長の順序付き分割と白のすき間長の分配を数えたものである。
解答
黒ブロックの位置を10個の場所から4個選べば、白ブロックの位置も決まる。したがって全事象は 通りである。
黒列部分の個数をとする。黒列長は正の整数で和が4になる個の数である。また、白列は黒列の前後と間にできる。両端の白の長さは0以上、黒列の間にある白の長さは1以上であり、それらの和は6である。
この分配をについて数える。各で、黒列の最大長と白列の最大長の大小ごとに数えると次の表になる。
内訳も確認しておく。では, , , である。例えば黒列長は4であり、白6個は左右の端にと分かれるから、最大白列長が3,4,5,6となる個数はそれぞれ1,2,2,2である。では, , , , , , , , , である。では, , , 、では, , である。いずれも黒列長の順序付き分割と、内部の白列を1以上とする白の分配を数えている。
したがって、総数は である。これらの和は となり、全事象の数と一致する。
よって求める確率は である。