問題
軸上の点に中心をもち，2直線，に接する円がある．ただし，とする．
(1) の方程式を求めよ．
(2) との接点の座標が最大となるときのを求めよ．
(3) の原点側の円弧と2直線で囲まれた図形を軸のまわりに回転させる．このときの回転体の体積を求めよ．ただし，は(2)で得られた値を用いよ．
出典：名古屋大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期第2問
方針
(1)は、円の半径を中心から直線までの距離として求める。(2)では接点を中心から直線へ下ろした垂線の足として求め、その座標を最大化する。(3)ではを代入し、原点側の円弧と直線の間を軸まわりに回転する。外半径と内半径の2乗の差を積分して体積を求める。
解答
(1)
円の中心はである。直線、すなわち までの距離は である。円はこの直線に接するので、この距離が半径である。したがって円の方程式は である。
(2)
直線への接点は、中心からこの直線へ下ろした垂線の足である。垂線の傾きはなので、垂線は である。これとを連立すると より である。したがって接点の座標は である。 について であることは すなわち から分かる。等号は のときである。よって接点の座標が最大となるのはである。
(3)
のとき、円は である。原点側の円弧は下側の弧なので である。直線はとで、原点側では下側の境界が である。交点はなので、求める体積は
である。
被積分関数を整理すると
である。よって
である。また である。これは半径の円で、中心角がの扇形から二等辺直角三角形を調整して得られる面積である。
したがって
である。ゆえに である。