問題
，，軸上に，3点
がある．線分をに内分する点をとし，線分をに内分する点をとする．ただし，，である．
(1) の位置ベクトルをとを使って表せ．
(2) が原点に最も近くなる場合のとの値を求めよ．
出典：名古屋大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期第1問
方針
まず内分公式を2回使っての座標をで表す。原点に最も近い点を求めるには、距離ではなくを最小化する。固定したについての2次式を最小化し、その最小値がの増加関数であることから、最後にを平方完成して決める。別解として、が三角形の内部を動く点であることを使い、原点から平面へ下ろした垂線の足として求める方法もある。
解答
(1)
点は線分をに内分する。したがって であるから である。
次に、点は線分をに内分するので である。よって である。したがって位置ベクトルは である。
(2)
距離の2乗を最小にすればよい。(1)より である。ここで とおくと である。
固定したに対して、これをの2次式として最小化する。微分してもよいし、平方完成してもよい。導関数は であるから、最小となるは すなわち である。このときの最小値は である。
関数はでが小さいほど小さい。したがってを最小にすればよい。ところが であり、平方完成すると である。よってで最小となるのは のときである。このときなので である。
したがって求める値は である。
別解。点は三角形の内部を動く点である。平面の方程式は、切片から である。原点に最も近い平面上の点は、原点からこの平面に下ろした垂線の足である。法線方向はなので、垂線の足は
である。この点は三角形の内部にある。これを と比べると、より、さらによりを得る。