名古屋大学 1997年度
後期・理系数学 後期第3問

解答

(1)

であるから $2{\log }_{x^2}(ax+3)={\log }_x(ax+3)$ である。したがって第1式は $2+{\log }_{x}y-{\log }_{x}a={\log }_x(ax+3)+{\log }_x(x-a+1)$ となる。さらに$2={\log }_x{x}^2$なので、左辺は ${\log }_x\frac{x^{2}y}{a}$ である。右辺は ${\log }_x\{(ax+3)(x-a+1)\}$ である。よって $\frac{x^{2}y}{a}=(ax+3)(x-a+1)$ となり $y=\frac{a(ax+3)(x-a+1)}{x^2}$ である。

(2)

まず $(1+\sqrt{3}{)}^2=4+2\sqrt{3}$ であり、したがって $(1+\sqrt{3}{)}^3=(4+2\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=10+6\sqrt{3}=2(5+3\sqrt{3})$ である。第2式 $(5+3\sqrt{3})(1+\sqrt{3}{)}^{ax}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{3}{)}^y$ の両辺を2倍すると $2(5+3\sqrt{3})(1+\sqrt{3}{)}^{ax}=(1+\sqrt{3}{)}^y$ である。よって $(1+\sqrt{3}{)}^{ax+3}=(1+\sqrt{3}{)}^y$ となる。底$1+\sqrt{3}$は1より大きいので、指数を比較して $y=ax+3$ である。

(3)

(1)(2)を連立すると $\frac{a(ax+3)(x-a+1)}{x^2}=ax+3$ である。$a>0$, $x>0$より$ax+3>0$なので、両辺を$ax+3$で割ることができる。すると $x^2=a(x-a+1)$ である。すなわち $x^2-ax+a^2-a=0$ を得る。

この2次方程式の判別式は $D=a^2-4(a^2-a)=a(4-3a)$ である。$a>0$なので、実数解をもつためには $0<a\leqq \frac{4}{3}$ が必要である。

解は $x=\frac{a\pm \sqrt{a(4-3a)}}{2}$ である。ここで、$0<a<1$のときは積$a^2-a<0$なので、2解のうち正の解は $x=\frac{a+\sqrt{a(4-3a)}}{2}$ のみである。$a=1$のときは方程式が $x^2-x=0$ となり、解は$x=0,1$であるが、どちらも条件$x>0,x\ne 1$に合わない。$1<a<\frac{4}{3}$のときは2解とも正であり、$x=1$になることもない。$a=\frac{4}{3}$のときは重解 $x=\frac{2}{3}$ である。

また、得られた解では $x-a+1=\frac{x^2}{a}>0$ であるから、第1式の真数条件も満たされる。したがって、連立方程式が解をもつ$a$の範囲は $0<a<1,1<a\leqq \frac{4}{3}$ である。解$x$は、$0<a<1$では $x=\frac{a+\sqrt{a(4-3a)}}{2}$ であり、$1<a<\frac{4}{3}$では $x=\frac{a\pm \sqrt{a(4-3a)}}{2}$ の2つ、$a=\frac{4}{3}$では $x=\frac{2}{3}$ である。