名古屋大学 1997年度
文系数学 第3問(b)

解答

$u=a+b,v=a-b$ とおく。仮定より $f(0)=c$ は整数である。また $f(1)=1+a+b+c=1+u+c$ が整数で、すでに$c$が整数なので$u$も整数である。さらに $f(-1)=-1+a-b+c=-1+v+c$ が整数であるから、$v$も整数である。

任意の整数$n$について、$f(n)=n^3+a{n}^2+bn+c$ である。ここで $a=\frac{u+v}{2},b=\frac{u-v}{2}$ なので $a{n}^2+bn=\frac{u+v}{2}{n}^2+\frac{u-v}{2}n=\frac{un(n+1)+vn(n-1)}{2}$ である。したがって $f(n)=n^3+c+\frac{un(n+1)+vn(n-1)}{2}$ と表せる。 $n$が整数なら、$n(n+1)$と$n(n-1)$はいずれも連続する2整数の積なので偶数である。$u,v,c$は整数であるから、右辺は整数である。よって、すべての整数$n$に対して $f(n)$ は整数である。