問題
正三角形上に時速，，で等速運動する3点があって，それぞれから辺に沿ってへ，から辺に沿ってへ，から辺に沿ってへ同時に出発したとする．時間後のそれらの位置をそれぞれ，，とする．いずれかの点が次の頂点に到達するまでの間，の重心が動かないための条件を求めよ．
出典：名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
各点の位置ベクトルを、出発点から辺方向へ進んだ距離で表す。重心が動かないことは、3点の速度ベクトルの和が0になることと同値である。正三角形では3辺の向きのベクトルにという関係があり、独立な2方向の係数比較からが得られる。
解答
正三角形の一辺の長さをとし、頂点の位置ベクトルをそれぞれとする。いずれかの点が次の頂点に到達するまでの間は、3点はそれぞれ同じ辺上を等速で動くので
である。
重心の位置ベクトルをとすると
である。したがって、重心がによらず動かないための条件は、の係数が0であること、すなわち である。
ここで である。これを代入すると となる。とは平行でないので一次独立である。したがって である。よって を得る。
逆になら、上の速度ベクトルの和は となるので、重心は動かない。したがって求める条件は である。