名古屋大学 1997年度文系数学第2問解答・解説

問題

原点 $O$ を通る3次曲線 $y = x^{3}$ と $O$ を通る直線 $l : y = t x$ $(t > 0)$ を考える． $x > 0$ での曲線と $l$ との交点を $P$ とする．

(1) $x ≧ 0$ の範囲で曲線と $l$ とで囲まれる領域の面積を求めよ．

(2) 点 $Q$ が曲線上を $O$ から $P$ まで動くとき $△ O P Q$ の面積の最大値を求めよ．

出典：名古屋大学 1997年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

まず $x^{3} = t x$ から正の交点 $P$ を求める。(1)は $0 ≦ x ≦ t$ で直線が曲線の上側にあることを確認して定積分する。(2)は $Q = (x, x^{3})$ とおき、原点を含む三角形の面積を行列式で $x$ の関数にする。端点では面積が0なので、内部の臨界点で最大値を求める。

解答

(1)

曲線と直線の交点は $x^{3} = t x$ より $x (x^{2} - t) = 0$ である。 $x > 0$ の交点は $x = t$ であるから $P = (t, t t)$ である。 $0 ≦ x ≦ t$ では $t x - x^{3} = x (t - x^{2}) ≧ 0$ なので、直線 $y = t x$ が曲線 $y = x^{3}$ の上側にある。したがって囲まれる領域の面積は $\int_{0}^{t} (t x - x^{3}) d x$ である。計算すると

\int_{0}^{t} (t x - x^{3}) d x = [\frac{t}{2} x^{2} - \frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{t} = \frac{t ^{2}}{2} - \frac{t ^{2}}{4} = \frac{t ^{2}}{4}

である。

(2)

$Q$ を $Q = (x, x^{3}) (0 ≦ x ≦ t)$ とおく。三角形 $O P Q$ の面積は、原点を1つの頂点にもつので $\frac{1}{2} t \cdot x^{3} - t t \cdot x$ である。 $0 ≦ x ≦ t$ では $t x - x^{3} ≧ 0$ なので $△ O P Q の面積 = \frac{1}{2} t x (t - x^{2})$ である。

したがって $f (x) = x (t - x^{2})$ を $0 ≦ x ≦ t$ で最大にすればよい。微分すると $f^{'} (x) = t - 3 x^{2}$ であるから、内部の臨界点は $x = \frac{t}{3}$ である。端点 $x = 0, t$ では面積は0なので、この点で最大となる。最大面積は

\frac{1}{2} t \cdot \frac{t}{3} (t - \frac{t}{3}) = \frac{t ^{2}}{3 3}

である。

名古屋大学 1997年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1997年度
文系数学第2問