名古屋大学 1996年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

最初，点 $Q$ は $(x, y)$ 座標の原点にある．2枚の硬貨 $A$ ， $B$ を同時に投げて，出た結果によって点 $Q$ を移動させていく．硬貨 $A$ が表の場合に点 $Q$ を $x$ 座標の正の方向に1移動し，裏の場合に負の方向に1移動する．同様に，硬貨 $B$ が表の場合に $y$ 座標の正の方向に1移動し，裏の場合に負の方向に1移動するものとする．ただし硬貨 $A$ ， $B$ を投げたとき，表の出る事象は互いに独立であり，その確率はそれぞれ $\frac{1}{2}$ である．次の問に答えよ．

(1) 2枚の硬貨を $n$ 回投げたのちに，原点から点 $Q$ までの距離が $2$ 以内となる確率を求めよ．

(2) 2枚の硬貨を $n$ 回投げたのちに，点 $Q$ が原点に存在する確率を $p_{n}$ ，原点を中心とする半径 $2$ の円周上にある確率を $q_{n}$ として，次式を満足する行列 $T$ を求めよ．

(p_{n + 1} q_{n + 1}) = T (p_{n} q_{n})

(3) 2枚の硬貨を $n$ 回投げて点 $Q$ を移動させる．点 $Q$ の $n$ 回にわたる移動において，原点から点 $Q$ までの距離が一度も $2$ より大きくならない確率を求めよ．

出典：名古屋大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

各回の移動は $(\pm 1, \pm 1)$ の4通りで等確率であり， $x$ 座標と $y$ 座標は独立な1次元移動として数えられる。(1)は $n$ の偶奇で到達できる格子点の偶奇が変わるため，半径 $2$ 以内にある点を偶数時は原点，奇数時は $(\pm 1, \pm 1)$ と分けて数える。(2)(3)は「途中で半径 $2$ を超えない経路」を数えるため，原点にいる場合と円周上にいる場合だけを追う。問題文の(2)を無条件確率として読むと一定の行列 $T$ は存在しないため，(3)につながる制限付きの確率として扱う。

解答

(1)

$n$ 回投げた後の $x$ 座標は，硬貨Aで表が出た回数を $r$ とすると $r - (n - r) = 2 r - n$ である。したがって $x$ 座標は $n$ と同じ偶奇をもつ。 $y$ 座標も同様である。 $n$ が偶数のとき， $x, y$ はともに偶数である。原点からの距離が $2$ 以内となる偶数格子点は原点だけである。よって

P (Q = (0, 0)) = \frac{_{n} C _{n /2}}{2 ^{n}} \cdot \frac{_{n} C _{n /2}}{2 ^{n}}

であり，求める確率は $(\frac{_{n} C _{n /2}}{2 ^{n}})^{2}$ である。 $n$ が奇数のとき， $x, y$ はともに奇数である。距離が $2$ 以内となる点は $(1, 1), (1, - 1), (- 1, 1), (- 1, - 1)$ の4点である。1つの座標が $1$ または $- 1$ になる確率は

\frac{_{n} C _{(n + 1) /2} + _{n} C _{(n - 1) /2}}{2 ^{n}} = \frac{2 _{n} C _{(n + 1) /2}}{2 ^{n}}

である。したがって求める確率は $(\frac{2 _{n} C _{(n + 1) /2}}{2 ^{n}})^{2}$ である。

(2)

ここでは(3)で用いるため，途中で原点からの距離が $2$ より大きくならない経路だけを数え，そのうち時刻 $n$ に原点にある確率を $p_{n}$ ，半径 $2$ の円周上にある確率を $q_{n}$ として扱う。この解釈でなければ，外側から円周上へ戻る経路もあるため， $p_{n}, q_{n}$ だけで次の $p_{n + 1}, q_{n + 1}$ は決まらない。

原点から1回移動すると，必ず $(1, 1), (1, - 1), (- 1, 1), (- 1, - 1)$ のいずれかに移る。したがって原点から円周上へ移る確率は1である。

一方，円周上の4点のどれかにいるとする。次も半径 $2$ 以内にとどまるには，原点へ戻るしかない。例えば $(1, 1)$ からは，4通りの移動先のうち原点は $(0, 0)$ の1通りだけである。したがって円周上から原点へ戻る確率は $\frac{1}{4}$ である。

よって $p_{n + 1} = \frac{1}{4} q_{n}, q_{n + 1} = p_{n}$ であり，

(p_{n + 1} q_{n + 1}) = (01 \frac{1}{4} 0) (p_{n} q_{n})

となる。したがって

T = (01 \frac{1}{4} 0)

である。

(3)

距離が一度も $2$ より大きくならないためには，点 $Q$ は原点と円周上の4点を交互に動くしかない。原点から円周上へ出る移動は必ず条件を満たし，円周上から条件を満たして次へ進むには確率 $1/4$ で原点へ戻る必要がある。

したがって2回の移動を1組として見ると，条件を保ったまま $原点 \to 円周上 \to 原点$ と戻る確率は $\frac{1}{4}$ である。 $n = 2 m$ のときは，この2回1組が $m$ 回必要なので，求める確率は $(\frac{1}{4})^{m}$ である。 $n = 2 m + 1$ のときは， $m$ 組を終えた後，最後に原点から円周上へ1回移る。この最後の移動は必ず条件を満たすので，やはり確率は $(\frac{1}{4})^{m}$ である。

よって一般に $(\frac{1}{4})^{⌊ n /2 ⌋}$ である。

名古屋大学 1996年度後期・理系数学 後期第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 1996年度
後期・理系数学後期第4問