名古屋大学 1996年度
後期・理系数学 後期第1問

解答

(1)

正 $N$ 角形が1つの頂点を中心に滑らずに回転し，隣の辺が直線 $l$ に重なるまで動くとき，回転角は正 $N$ 角形の外角 $\frac{2\pi }{N}$ である。

頂点 $A_N$ を中心に回転するとき，頂点 $A_i$ が描く軌跡は，中心 $A_N$，半径 $A_N{A}_i$，中心角 $2\pi /N$ の円弧である。外接円の半径が $a$ で，$A_N$ と $A_i$ の間には $N-i$ 個分の辺の隔たりがあるから $A_N{A}_i=2a\sin \frac{(N-i)\pi }{N}$ である。したがって軌跡の長さは

である。

(2)

正 $N$ 角形が1回転するまでには，各頂点を中心とする同じ角度 $2\pi /N$ の回転が1回ずつ起こる。頂点 $A_{N-1}$ 自身を中心とする回転では軌跡の長さは0であり，その他の頂点を中心とする回転では，中心から $A_{N-1}$ までの距離が $2a\sin \frac{j\pi }{N}(j=1,2,\dots ,N-1)$ の形で一度ずつ現れる。よって

である。

(3)

$L_N=4\pi a\cdot \frac{1}{N}{\sum }_{j=1}^{N-1}\sin \frac{j\pi }{N}$ である。ここで

は，$N\to \infty$ のとき $\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin xdx=\frac{2}{\pi }$ に近づく。したがって ${\lim }_{N\to \infty }{L}_N=4\pi a\cdot \frac{2}{\pi }=8a$ である。

別解。(3)では三角関数の和を直接使ってもよい。 ${\sum }_{j=1}^{N-1}\sin \frac{j\pi }{N}=\cot \frac{\pi }{2N}$ であるから $L_N=\frac{4\pi a}{N}\cot \frac{\pi }{2N}$ である。$\theta =\pi /(2N)$ とおくと，$N\to \infty$ で $\theta \to 0$ かつ $\theta \cot \theta \to 1$ なので，同じく ${\lim }_{N\to \infty }{L}_N=8a$ となる。