問題
で表される放物線を軸回りに回転させて同じ形の容器を2つ作る．これらの容器，を図に示すように，上下に配置する．容器の底には小さな穴があいており，底から流出した水が容器にたまる．時刻のとき，容器の水の深さはであり，容器は空であった．容器の水の体積の減少の割合は，毎秒（は定数，は容器の水の深さ）であるものと仮定する．水が容器から容器に到達するまでの時間は無視する．次の問に答えよ．
(1) 秒後の容器の水の深さを求め，との関係を図示せよ．
(2) 秒後の容器の水の深さを求め，との関係を図示せよ．
(3) 容器と容器の水面の面積の和が最大になるときの時刻を求めよ．
方針
放物線 を 軸まわりに回転した容器では，深さ の水面半径が なので，水の体積は である。(1)は と から が直線的に減ることを出す。(2)は容器Aから減った体積がそのまま容器Bに入るので を使う。(3)は水面積が であり， のもとで和が最大になる条件を調べる。
解答
深さ まで水が入っているとき，水面の高さは であり，放物線 から水面の半径は である。したがって高さ における断面積は で，体積は である。
(1)
容器Aの水の体積は である。水の体積の減少の割合が毎秒 だから，水が残っている間は である。左辺は なので， の間 より である。初期条件 から である。 では容器Aは空なので である。グラフは から までの線分と，その後の 軸上の半直線である。
(2)
時刻 までに容器Aから流れ出た水の体積は である。これが容器Bにたまった水の体積 に等しいので である。したがって であり，(1)を代入して
である。 ではすべての水が容器Bに入っているので である。グラフは から まで増加し，その後は高さ で一定となる。
(3)
深さ の水面半径は だから，水面の面積は である。したがって二つの容器の水面の面積の和は である。
また水量保存より である。 のもとで を最大にするには より を用いる。すると であり，等号は のときに成り立つ。よって最大時には である。
(1)の式から となるので，求める時刻は である。