名古屋大学 1996年度文系数学第3問(a) 解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ があって，すべての $n$ について，初項 $a_{1}$ から第 $n$ 項 $a_{n}$ までの和が $(a_{n} + \frac{1}{4})^{2}$ に等しいとする．
$a_{n}$ がすべて正とする．一般項 $a_{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系第3問(a)

方針

部分和を $S_{n}$ とおき，条件 $S_{n} = (a_{n} + 1/4)^{2}$ を $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ と組み合わせて隣接2項の関係を作る。式は平方の等式になり，符号の選択として $a_{n} = a_{n - 1} + 1/2$ または $a_{n} = - a_{n - 1}$ が現れる。今回はすべての項が正なので負になる選択を除き，初項 $a_{1} = 1/4$ から等差数列として一般項を求める。

解答

部分和を $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ とおく。条件は $S_{n} = (a_{n} + \frac{1}{4})^{2}$ である。

まず $n = 1$ とすると $a_{1} = (a_{1} + \frac{1}{4})^{2}$ である。整理すると $a_{1}^{2} - \frac{1}{2} a_{1} + \frac{1}{16} = 0$ すなわち $(a_{1} - \frac{1}{4})^{2} = 0$ なので $a_{1} = \frac{1}{4}$ である。

次に $n ≧ 2$ とする。 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ より $(a_{n} + \frac{1}{4})^{2} - (a_{n - 1} + \frac{1}{4})^{2} = a_{n}$ である。左辺を整理して $a_{n}^{2} - \frac{1}{2} a_{n} - a_{n - 1}^{2} - \frac{1}{2} a_{n - 1} = 0$ となる。両辺に $1/16$ を加えると $(a_{n} - \frac{1}{4})^{2} = (a_{n - 1} + \frac{1}{4})^{2}$ である。

したがって $a_{n} - \frac{1}{4} = a_{n - 1} + \frac{1}{4}$ または $a_{n} - \frac{1}{4} = - (a_{n - 1} + \frac{1}{4})$ である。後者は $a_{n} = - a_{n - 1}$ を意味するが，すべての $a_{n}$ は正であり， $a_{n - 1} > 0$ なのでこれは許されない。よって常に $a_{n} = a_{n - 1} + \frac{1}{2}$ である。

初項 $a_{1} = 1/4$ ，公差 $1/2$ の等差数列だから $a_{n} = \frac{1}{4} + (n - 1) \frac{1}{2} = \frac{2 n - 1}{4}$ である。

名古屋大学 1996年度文系数学 第3問(a)

問題

方針

解答

名古屋大学 1996年度
文系数学第3問(a)