問題
平面上に，原点を1つの頂点とし，を直角とする直角二等辺三角形がある．頂点が曲線 を動くときの頂点の軌跡を図示せよ．
出典：名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
直角二等辺三角形で が直角なので， は斜辺であり， は線分 の中点から に垂直な方向へ同じ長さだけ移った点である。 とおき，， から も分かる。 の二つの候補を座標で表し，それぞれ を消去して双曲線の枝と不等式条件を得る。
解答
とおく。 は曲線 ， 上にあるから である。 は を直角とする直角二等辺三角形である。したがって が斜辺であり， は の中点 から， に垂直な方向へ長さ だけ移った2点である。よって または である。
第一の場合， とおくと である。したがって となる。また ， より である。よって第一の場合の軌跡は双曲線 の上側の枝である。
第二の場合は となるので であり，， より である。よって第二の場合の軌跡は双曲線 の右側の枝である。
以上より，求める軌跡は で表される枝と， で表される枝を合わせたものである。
別解。 を中心に を 回転して に移すと考えてもよい。 を左右どちらかに 回転したものを に足すと， または となる。これに の条件 ，， を代入すれば，同じ二つの双曲線の枝が得られる。