問題
を正の数とする．平面において，次の条件(i)と(ii)を満たす直線が存在するようなの範囲を求めよ．
(i) の切片はである．
(ii) 放物線とで囲まれる図形の面積は4以下である．
出典：名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
直線を とおく。 なので放物線 と直線は必ず2点で交わり，囲まれる面積は2交点の 座標の差だけで表せる。交点を与える二次方程式の判別式を とし，面積を に直す。傾き は自由に選べるので，面積の最小値が4以下になる条件を調べ，等号を与える直線が実際に存在することまで確認する。
解答
直線 を とおく。 と放物線 の交点の 座標は の2解である。 だから，判別式 は正であり，2交点は常に相異なる。
この2解を とする。解の差は である。また なので，囲まれる図形の面積 は
である。
ここで を動かすと， の最小値は のときの である。したがって，条件を満たす直線が存在するための必要十分条件は である。これを解くと より すなわち である。 は問題の仮定であり， のときは とすれば面積が4以下になる。よって求める範囲は である。