問題
平面上の三角形が次の2条件を満たしているとする．
a) 各頂点の座標，座標はともに整数である．
b) 3辺の長さ，，もすべて整数である．
このときおよびはともに偶数であることを示せ．
出典：名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(b)
方針
格子点同士を結ぶ線分の長さ が整数であるとき， と の偶奇は同じである。一方，座標差を とすれば である。三角形の3辺についてこの合同式を足すと，座標差が一周して消えるので，3辺の長さの和も2乗の和も偶数になる。
解答
2つの格子点 の距離を とする。座標差を とおけば である。整数 については が成り立つので である。また，問題の仮定より は整数であるから である。したがって である。
三角形の頂点を とする。辺 の長さをそれぞれ とすれば，上の合同式から である。3式を足すと，右辺の座標差はすべて打ち消し合うので である。したがって である。
さらに，整数については であるから である。よって である。
別解。格子点 を の偶奇で2種類に分ける。2つの格子点の の偶奇が同じなら，座標差の和は偶数なので，その距離が整数であるとき辺の長さは偶数である。偶奇が異なるなら辺の長さは奇数である。三角形を一周すると頂点の種類は出発点に戻るため，種類が変わる辺の本数は偶数である。したがって奇数の辺の本数は偶数であり， は偶数である。あとは から も偶数である。