名古屋大学 1995年度
理系数学 第2問

解答

(1)

二項定理より，正の整数 $j$ について

である。したがって

である。これを $j=1,2,\dots ,n$ について足すと，左辺は ${\sum }_{j=1}^n\{(j+1{)}^5-j^5\}=(n+1{)}^5-1$ となる。一方，右辺は

である。よって $(n+1{)}^5-1={\sum }_{k=0}^4{}_5{\mathrm{C}}_k{S}_k(n)$ となり，$\boxed{(n+1{)}^5=1+\sum _{k=0}^4{}_5{\mathrm{C}}_k{S}_k(n)}$ が成り立つ。

(2)

(1)の等式より $5S_4(n)=(n+1{)}^5-1-S_0(n)-5S_1(n)-10S_2(n)-10S_3(n)$ である。ここで $S_0(n)=n,S_1(n)=\frac{n(n+1)}{2},$

を代入する。すると

である。これを整理すると $5S_4(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{6}$ となる。したがって $\boxed{S_4(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}$ である。展開すれば $S_4(n)=\frac{1}{5}{n}^5+\frac{1}{2}{n}^4+\frac{1}{3}{n}^3-\frac{1}{30}n$ であり，確かに $n$ の5次多項式である。