問題
曲線 を考える．この曲線上の点における法線と軸との交点を，との中点をとおく．
(1) 点が曲線上を動くとき，の描く軌跡が満たす方程式を求めよ．
(2) (1)の軌跡，軸，2直線およびで囲まれた図形の面積を求めよ．
出典：名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
曲線 上の点を とおく。 から法線の傾きを求め， 軸との交点 を出す。中点 は と表されるので， を代入して軌跡を得る。面積は軌跡を と見て， を計算する。
解答
(1)
曲線上の点 を とおく。曲線 について であるから， における接線の傾きは である。したがって法線の傾きは である。
点 を通る法線は である。この法線と 軸との交点を とする。 を代入すると なので である。よって である。 は の中点だから
である。 を代入して を得る。したがって，求める軌跡は である。
(2)
(1)の軌跡を と見る。右辺を で微分すると なので，軌跡は で右上がりに進む。
境界の2直線に対応する を求めると， のとき であり， のとき である。したがって求める面積は， 軸から軌跡までの高さ を用いて で表される。 として変数を に直すと
である。よって である。計算すると
となる。したがって求める面積は である。
別解。 のまま面積を計算してもよい。， であり，範囲は から である。したがって
となる。