問題
2つの円
に外接し，軸の上側にある半径 の円の中心をとする．ただし，2つの円が外接するとは，中心間の距離がそれぞれの円の半径の和に等しいことをいう．
(1) を動かすとき，点の描く軌跡が満たす方程式を求め，軌跡の概形を図示せよ．
(2) 座標平面の原点をとするとき，直線と軸とのなす角がとなるのはがいくつのときか．
方針
2つの円の中心を焦点のように見て，外接条件から を得る。距離の差が一定である点の軌跡は双曲線なので，中心，焦点距離，差の半分を読み取って方程式を出す。ただし 軸の上側かつ なので，実際に描くのは左側の枝の上半分で，頂点は含まない。(2) は角度条件から を で表し，もう一方の外接条件へ代入する。
解答
(1)
の中心を ， の中心を とする。 の半径は1， の半径は2である。半径 の円がこの2つの円に外接するので である。したがって である。
これは2点 からの距離の差が一定である点の軌跡である。焦点は なので中心は であり，焦点距離は である。また距離の差が1だから，標準形での が1，すなわち である。よって である。したがって軌跡の方程式は
である。
ただし なので，点は に近い側，すなわち左側の枝にある。さらに問題の条件より 軸の上側なので の部分だけである。 のため， に対応する頂点 は含まない。概形は，中心 ，漸近線 をもつ双曲線の左上の枝である。
(2)
であり，直線 と 軸とのなす角が であるから である。もう一方の外接条件 を用いると
である。左辺は となるので である。したがって より である。
別解。(1) は距離の差を使わず， として直接消去してもよい。外接条件から である。2式を引くと すなわち である。これを に代入して整理しても，同じ双曲線の方程式が得られる。