名古屋大学 1995年度
後期・理系数学 後期第4問

解答

(1)

点 $X$ は1ステップごとに隣の頂点へ移動するので，奇数ステップ後には $A$ の隣の頂点 $B,D$ のどちらかにあり，$A$ にはいない。したがって $n$ が奇数のとき $\mathrm{Pr}(X_n=A)=0$ である。

偶数ステップ後には $X$ は $A$ または $C$ にいる。2ステップ後を考えると，$A$ に戻る経路は $A\to B\to A,A\to D\to A$ の2通り，$C$ に行く経路も $A\to B\to C,A\to D\to C$ の2通りで，いずれも等確率である。したがって偶数ステップ後には $A,C$ に等確率でいる。よって

である。

(2)

$n$ が奇数のとき，$X$ も $Y$ も $A$ にはいないので確率は0である。$n$ が偶数のとき，(1)より $\mathrm{Pr}(X_n=A)=\frac{1}{2}$ である。また $Y$ は $C$ から出発するが，同じ理由で偶数ステップ後には $A,C$ に等確率でいるから $\mathrm{Pr}(Y_n=A)=\frac{1}{2}$ である。2点の移動は互いに独立なので $\mathrm{Pr}(X_n=A,Y_n=A)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ である。したがって

である。

(3)

点が消滅していないとき，2点は常に対角の位置にある。たとえば $X,Y$ が $A,C$ にいるとき，次のステップで両方が $B$ に移るか，両方が $D$ に移れば消滅する。この確率は $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ である。残りの確率 $1/2$ では，2点は $B,D$ という対角の位置に移り，消滅しない。他の対角の組からでも同じである。

したがって，各ステップで，それまで存在していた点が次も存在する確率は $1/2$ である。よって $n$ ステップ後にも点が存在する確率は $\boxed{{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}$ である。

(4)

点の寿命が $n-1$ であるとは，$n-1$ ステップ後までは存在し，$n$ ステップ後に消滅することである。その確率は ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\cdot \frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ である。したがって平均寿命は ${\sum }_{n=1}^{\infty }(n-1){\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ である。$m=n-1$ とおくと

である。ここで ${\sum }_{m=0}^{\infty }m{r}^m=\frac{r}{(1-r{)}^2}(0<r<1)$ に $r=1/2$ を入れると ${\sum }_{m=0}^{\infty }m{\left(\frac{1}{2}\right)}^m=2$ である。よって平均寿命は $\boxed{1}$ である。