問題
について次の問に答えよ．ただし，は定数である．
(1) とが共有点を持つためのの範囲を求めよ．
(2) とが交わってできる円を底面とし，の中心を頂点とする円錐の体積を最大にするの値を求めよ．
出典：名古屋大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期第1問
方針
球面は平方完成して中心と半径を求める。平面との共有点条件は，球の中心から平面までの距離が半径以下であることに言い換えられる。(2) では中心から平面までの距離を とし，切り口の円の半径を ，円錐の高さを として体積を1変数関数にする。端点では体積が0になるので，微分で内部の最大点を決める。
解答
(1)
球面 の式を平方完成すると より である。したがって，球の中心は で，半径は3である。
平面 と中心 との距離は である。球面と平面が共有点を持つためには，この距離が球の半径3以下であればよい。よって すなわち である。したがって である。
(2)
中心 から平面 までの距離を とおく。 であり，切り口の円の半径を とすると，球の半径が3なので である。したがって である。
この円を底面，球の中心を頂点とする円錐の高さは であるから，体積 は である。定数 を除いて を で最大にすればよい。微分すると である。したがって では で増減が増加から減少に変わる。また端点 では体積は0なので，最大は のときである。
ここで だから である。よって となり，求める値は である。