名古屋大学 1995年度
後期・理系数学 後期第2問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 微分、数列
- 解法
- 接線・法線、漸化式の変形、はさみうち
- 難易度
- 5 / 10 計算量 4 / 10 目安 15〜20分
問題
aを正の定数とする．f(x)=x2−aとして，グラフy=f(x)上の点(xn,f(xn))における接線がx軸と交わる点のx座標をxn+1とする．このようにして，x1から順にx2,x3,x4,⋯⋯を作るとき，次の問に答えよ．ただし，x1>aとする．
(1) xn+1をxnを用いて表せ．
(2) a<xn+1<xnであることを示せ．
(3) ∣xn+1−a∣<21∣xn−a∣であることを示せ．
(4) n→∞limxnを求めよ．
出典：名古屋大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期第2問
方針
接線の x 軸との交点を求めると，反復式 xn+1=(xn+a/xn)/2 が出る。xn>a を仮定して，xn+1−a と xn−xn+1 をどちらも因数分解された形で表すと，単調性と下からの評価が同時に分かる。さらに a との差が毎回半分より小さくなることを示し，極限を決定する。
解答
(1)
f(x)=x2−a なので，点 (xn,f(xn)) における接線の傾きは f′(xn)=2xn である。したがって接線の方程式は y=2xn(x−xn)+xn2−a である。この接線が x 軸と交わる点では y=0 だから 0=2xn(x−xn)+xn2−a となる。これを x について解くと 2xnx=xn2+a であり，xn+1=21(xn+xna) を得る。
(2)
xn>a>0 とする。このとき
xn−xn+1=xn−21(xn+xna)=2xnxn2−a=2xn(xn−a)(xn+a)>0
である。よって xn+1<xn である。
また
xn+1−a=21(xn+xna)−a=2xnxn2−2axn+a=2xn(xn−a)2>0
である。したがって a<xn+1<xn が成り立つ。特に，この不等式を繰り返し用いることで，すべての n について xn>a である。
(3)
(2)で得た式から
∣xn+1−a∣=2xn(xn−a)2=2xnxn−a∣xn−a∣
である。ここで 0<xn−a<xn だから 0<2xnxn−a<21 である。よって ∣xn+1−a∣<21∣xn−a∣ である。
(4)
(2)より，数列 {xn} は単調減少で，しかも下から a でおさえられている。したがって極限を持つ。その極限を α とする。
(3)を繰り返すと 0<xn−a<(21)n−1(x1−a) である。右辺は n→∞ で0に近づくので，はさみうちにより limn→∞(xn−a)=0 である。したがって n→∞limxn=a である。
