名古屋大学 1995年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

原点 $O$ を中心とする半径 $3 a$ の円 $C$ に半径 $a$ の円 $C^{'}$ が内接して滑らないで転がって移動するものとする．円 $C^{'}$ の周上に固定された点 $P$ がある．はじめ円 $C^{'}$ の中心 $O^{'}$ が $(2 a, 0)$ に，また点 $P$ が $(3 a, 0)$ にあったとし，円 $C^{'}$ が円 $C$ の内部を反時計まわりに1周してもとの位置に戻るものとすると，点 $P$ は右図に示すような軌跡を描く．次の問に答えよ．

(1) $O O^{'}$ が $x$ 軸の正の方向となす角を $t$ とおく．円 $C$ と円 $C^{'}$ の接点を $T$ とするとき， $∠ T O^{'} P$ の大きさを $t$ で表せ．また，点 $P$ の位置 $(x, y)$ を $t$ を用いて表せ．

(2) 点 $P$ の軌跡で囲まれる図形の面積を求めよ．

出典：名古屋大学 1995年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

内側を滑らずに転がる円なので，中心 $O^{'}$ は半径 $2 a$ の円上を動く。外側の接点で進んだ弧の長さと内側の円が回転した弧の長さを等しくして， $O^{'} T$ に対する $O^{'} P$ の回転角を求める。そこから点 $P$ の媒介変数表示を作り，面積は閉曲線の面積公式 $\frac{1}{2} \int (x y^{'} - y x^{'}) d t$ を用いて計算する。

解答

(1)

円 $C$ の半径は $3 a$ ，円 $C^{'}$ の半径は $a$ である。内接しているので，中心間距離は $O O^{'} = 3 a - a = 2 a$ である。したがって， $O O^{'}$ が $x$ 軸の正の方向となす角を $t$ とすると $O^{'} = (2 a cos t, 2 a sin t)$ である。

円 $C^{'}$ が滑らずに転がるので，外側の円に沿って接点が進む長さと，円 $C^{'}$ の周上で回転した長さが等しい。中心 $O^{'}$ が角 $t$ だけ動く間，接点の位置に対応する回転は $2 t$ に相当し，さらに接点方向 $O^{'} T$ 自身が角 $t$ だけ回っている。したがって， $O^{'} T$ から見た $O^{'} P$ の向き付きの回転角は $∠ T O^{'} P = 3 t$ である。

初め $t = 0$ のとき $O^{'} P$ は $x$ 軸の正の向きである。上の回転を座標で表すと $O^{'} P = a (cos 2 t, - sin 2 t)$ である。よって $P = O^{'} + O^{'} P$ から $x = 2 a cos t + a cos 2 t, y = 2 a sin t - a sin 2 t$ を得る。

(2)

$0 ≦ t ≦ 2 π$ で1周分の軌跡が得られる。媒介変数表示された閉曲線の囲む面積を $S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t}) d t$ で求める。

ここで

\frac{d x}{d t} = - 2 a sin t - 2 a sin 2 t, \frac{d y}{d t} = 2 a cos t - 2 a cos 2 t

である。したがって

x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t} = (2 a cos t + a cos 2 t) (2 a cos t - 2 a cos 2 t) - (2 a sin t - a sin 2 t) (- 2 a sin t - 2 a sin 2 t) = 2 a^{2} (1 - cos 3 t)

となる。よって

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 2 a^{2} (1 - cos 3 t) d t = a^{2} [t - \frac{1}{3} sin 3 t]_{0}^{2 π} = 2 π a^{2}

である。したがって，求める面積は $2 π a^{2}$ である。

別解。軌跡は3つの同じ形の弧からなるので， $0 ≦ t ≦ 2 π /3$ の部分の面積を3倍してもよい。この場合も同じ被積分関数 $2 a^{2} (1 - cos 3 t)$ を使えば $3 \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π /3} 2 a^{2} (1 - cos 3 t) d t = 2 π a^{2}$ となる。

名古屋大学 1995年度後期・理系数学 後期第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1995年度
後期・理系数学後期第3問