名古屋大学 1995年度文系数学第3問(b) 解答・解説

問題

2次の行列 $A = (1 b a ab)$ が条件： $A^{2} (1 - 1) = (00)$ を満たしているとする．

(1) $A (1 - 1) \neq = (00)$ ならば， $A^{2} = O$ であることを示せ．（ただし， $O$ は零行列）

(2) $A (1 - 1) = (00)$ かつ $A^{3} - 4 A = O$ であるとき， $A$ ， $A^{2}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1995年度前期日程第2次学力試験文系第3問(b)

方針

行列 $A$ は列ベクトル $(1 b)$ と行ベクトル $(1 a)$ の積として見られるため， $A^{2} = (1 + ab) A$ が成り立つ。さらに $A (1 - 1)$ も直接計算し，条件を $(1 - a) (1 + ab) = 0$ に落とす。(1) は $a \neq = 1$ 側，(2) は $a = 1$ 側として分け， $A^{3} - 4 A = O$ から $b$ を決める。

解答

まず

A = (1 b) (1 a)

と書ける。したがって

A^{2} = (1 b) (1 a) (1 b) (1 a) = (1 + ab) A

である。また

A (1 - 1) = (1 - a b - ab) = (1 - a) (1 b)

である。よって

A^{2} (1 - 1) = (1 + ab) (1 - a) (1 b)

となる。列ベクトル $(1 b)$ は零ベクトルではないので，問題の条件は $(1 - a) (1 + ab) = 0$ と同値である。

(1)

A (1 - 1) \neq = (00)

ならば，上で得た式より $a \neq = 1$ である。したがって条件 $(1 - a) (1 + ab) = 0$ から $1 + ab = 0$ が従う。ゆえに $A^{2} = (1 + ab) A = O$ である。

(2)

A (1 - 1) = (00)

より $1 - a = 0$ であるから $a = 1$ である。このとき

A = (1 b 1 b), A^{2} = (1 + b) A

である。さらに $A^{3} = (1 + b) A^{2} = (1 + b)^{2} A$ なので $A^{3} - 4 A = {(1 + b)^{2} - 4} A$ である。ここで $A$ は左上成分が1であるから零行列ではない。したがって $(1 + b)^{2} - 4 = 0$ となる。よって $1 + b = 2, 1 + b = - 2$ から $b = 1, b = - 3$ である。 $b = 1$ のとき

A = (1111), A^{2} = 2 A = (2222)

である。 $b = - 3$ のとき

A = (1 - 3 1 - 3), A^{2} = - 2 A = (- 2 6 - 2 6)

である。以上が求める $A, A^{2}$ である。

名古屋大学 1995年度文系数学 第3問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1995年度
文系数学第3問(b)