名古屋大学 1995年度文系数学第2問解答・解説

問題

$0 < x < \frac{π}{4}$ を満たすすべての $x$ に対し，次の不等式が成り立っているとする．

sin 3 x + t sin 2 x > 0

このとき $t$ の範囲を求めよ．

出典：名古屋大学 1995年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

区間 $0 < x < π /4$ では $sin 2 x > 0$ なので，不等式を $t > - sin 3 x / sin 2 x$ と直す。あとは $sin 3 x / sin 2 x$ の下限を開区間で正しく調べる問題になる。三角関数を $cos x$ で表し，端点 $x = π /4$ が含まれないため，境界値では等号を許してよいことを最後に確認する。

解答

$0 < x < π /4$ では $sin 2 x > 0$ である。したがって $sin 3 x + t sin 2 x > 0$ は $t > - \frac{s i n 3 x}{s i n 2 x}$ と同値である。よって，すべての $x$ に対してこの不等式が成り立つように，右辺の上限を調べればよい。

まず

\frac{sin 3 x}{sin 2 x} = \frac{sin x ( 3 - 4 sin ^{2} x )}{2 sin x cos x} = \frac{4 cos ^{2} x - 1}{2 cos x} = 2 cos x - \frac{1}{2 cos x}

である。 $u = cos x$ とおくと， $0 < x < π /4$ より $\frac{2}{2} < u < 1$ である。また $ϕ (u) = 2 u - \frac{1}{2 u}$ とおけば $ϕ^{'} (u) = 2 + \frac{1}{2 u ^{2}} > 0$ であるから， $ϕ (u)$ は $u$ の増加関数である。したがって

\frac{sin 3 x}{sin 2 x} = ϕ (u) > ϕ (\frac{2}{2}) = \frac{2}{2}

である。ここで $x = π /4$ は区間に含まれないため，等号は起こらない。

よってすべての $x$ について $- \frac{s i n 3 x}{s i n 2 x} < - \frac{2}{2}$ である。したがって $t ≧ - \frac{2}{2}$ ならば，すべての $x$ について $t > - \frac{s i n 3 x}{s i n 2 x}$ が成り立つ。

逆に，もし $t < - \frac{2}{2}$ なら， $- t > 2 /2$ である。 $x$ を $π /4$ に十分近い値として $0 < x < π /4$ の範囲で選べば $\frac{s i n 3 x}{s i n 2 x} < - t$ となり，すなわち $sin 3 x + t sin 2 x < 0$ となって条件に反する。

以上より，求める範囲は $t ≧ - \frac{2}{2}$ である。

名古屋大学 1995年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

名古屋大学 1995年度
文系数学第2問