問題
1の目が出ているサイコロがある．このサイコロを等確率でいずれかの横の面の側に倒す．この操作を繰り返して回目に1か6の目が出る確率を求めよ．ただし，1と6とは反対側の面にあるものとする．
出典：名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(a)
方針
上面が または であるかどうかだけに注目し，2つの場合に分けて確率を追う。上面が のどちらかなら，横へ倒した直後に は上に来ない。上面がそれ以外なら，横の4面のうち2面が なので，次に目的の状態へ入る確率は である。この2状態の漸化式を固定値から解く。
解答
を， 回操作した後に上面が または である確率とする。はじめ上面は1であるから である。
上面が または であるとき，その反対側の面はそれぞれ または である。横の面の側へ倒すので，次の上面は のどちらにもならない。したがって，この場合に次に または が出る確率は0である。
一方，上面が 以外であるとき， と は互いに反対側にあり，どちらも横の4面の中にある。横の4面のいずれかに等確率で倒すので，次に または が出る確率は である。
よって である。この漸化式の一定値 は より である。したがって となる。 だから
である。ゆえに，求める確率は である。