問題
長方形内に置かれた三角形の面積は，もとの長方形の面積のを越えないことを示せ．
出典：名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(b)
方針
長方形を座標平面の，に置く。三角形の2頂点を固定すると，面積は残り1頂点から固定された直線までの距離に比例する。長方形の中で直線からの距離が最大になる点は境界上，さらに頂点まで動かせる。この操作を3頂点について繰り返すと，最大面積は長方形の4頂点から3つを選ぶ場合に達する。その面積はいずれも長方形の半分なので，任意の三角形の面積は半分を超えない。別解として，座標式から各頂点について一次式であることを使ってもよい。
解答
長方形を座標平面上の に置く。
三角形の2頂点を固定する。残りの1頂点をとすると，三角形の面積は である。したがって，固定した2頂点に対して面積を最大にするには，を長方形の中でその直線から最も遠いところへ動かせばよい。
直線からの距離は，長方形内で連続的に変化し，最大は境界で達成される。境界の各辺上では，直線からの距離は端点で最大になる。したがって，残り1頂点は長方形の頂点に動かしても面積は小さくならない。
この操作を3つの頂点について順に行えば，面積が最大となる三角形は，長方形の4頂点のうち3点を選んだ三角形としてよい。
長方形の4頂点から3点を選んでできる三角形は，長方形を対角線で半分にした三角形と合同または同面積である。したがってその面積は である。
もとの長方形の面積はなので，任意の三角形の面積は 倍を超えない。
別解。三角形の3頂点をとする。面積の2倍は である。2つの頂点を固定すると，これは残りの頂点の座標について一次式の絶対値である。長方形上で一次式の最大値は頂点で達成されるので，やはり最大は3頂点が長方形の頂点にある場合に限って調べればよい。すると最大面積はである。