名古屋大学 1994年度
理系数学 第2問

解答

$y=1+x$とおく。$x$が実数を動くとき$y$も実数全体を動く。方程式は $y^n=1+2^n(y-1)$ すなわち $F(y)=y^n-2^{n}y+2^n-1=0$ と書ける。常に $F(1)=1-2^n+2^n-1=0$ である。 $n=1$のとき，もとの方程式は$1+x=1+2x$であるから，解は$x=0$だけである。よって実数解は1個である。

以下$n\geqq 2$とする。 $n$が偶数のとき，$y^n\geqq 0$であり，特に$y<0$では $F(y)=y^n-2^{n}y+2^n-1>0$ である。したがって負の解はない。

また $F^{\prime }(y)=n{y}^{n-1}-2^n$ であり，$n-1$は奇数なので，$F^{\prime }(y)=0$は正の実数解を1つだけもつ。さらに $F(0)=2^n-1>0,F(1)=0,F^{\prime }(1)=n-2^n<0$ であるから，$y=1$で横切った後しばらく$F(y)<0$となる。その後$y\to \infty$で$F(y)\to \infty$となり，極小点は1つだけなので，$y=1$のほかに正の側でちょうど1つ解をもつ。よって実数解は2個である。 $n\geqq 3$が奇数のとき，$n-1$は偶数である。$F^{\prime }(y)=0$は $y=\pm {\left(\frac{2^n}{n}\right)}^{1/(n-1)}$ の2つである。$2^n>n$より，正の方の点は$1$より大きい。 $F(y)\to -\infty$$(y\to -\infty )$，$F(0)=2^n-1>0$であり，左側の極大点までは増加するので，負の側に解が1つある。また$F(1)=0$であり，$F^{\prime }(1)=n-2^n<0$だから，$y=1$の直後では$F(y)<0$である。正の極小点を過ぎると$F(y)\to \infty$となるので，$y=1$のほかに正の側でさらに1つ解がある。よって実数解は3個である。

以上より，求める実数解の個数は

である。