問題
空間内で，である実数に対し，，，を頂点とする三角形を考える．この三角形を軸のまわりに1回転してできる立体の体積を最大にするを求めよ．またそのときの体積を求めよ．
出典：名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
三角形上の点を高さで切る。では，切り口は上の線分で，の最大値は相似比からになる。この線分を軸のまわりに回すと，内半径と外半径の差から断面積はになる。体積はで積分し，最後にをで最大化する。
解答
三角形上の点は，方向と方向の係数を用いて と書ける。ただし，，である。この点の座標はなので，を固定すると である。したがってで切った線分は で表される。
この線分を軸のまわりに回転する。は一定で，線分の左端の半径は，右端の半径は
である。よって断面は円環であり，その面積は
である。
したがって体積は である。とおくと， である。
あとはでを最大にすればよい。 である。したがってで増減はを境に増加から減少へ変わる。よって最大となるのは である。
そのときの体積は
である。