問題
箱の中に赤球が5個，白球が10個入っている．箱の中から球を取り出したとき，それが赤のときはその球を含めて個の赤球を箱に入れ，白のときはその球を含めて個の白球を箱に入れて，次の球を取り出すことにする．
(1) 1回目に赤球が出る確率と，2回目に赤球が出る確率が等しくなるための条件を求めよ．ただし，とする．
(2) とする．， 2人がから始めて上の要領で球を順々に取り出すとき，初めて赤球を取り出した方を勝ちとする．が勝つ確率を求めよ．
出典：名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
(1)は1回目の色で場合分けし，2回目に赤が出る確率を条件付き確率で表す。赤が出た後は赤球が個，白が出た後は白球が個になる点を正確に読む。(2)はなので，毎回の赤確率はのままである。が勝つのは初めて赤が出る回が奇数回のときなので，等比級数で合計する。
解答
(1)
1回目に赤球が出る確率は である。
1回目に赤球が出た場合，取り出した赤球を含めて個の赤球を入れるので，箱の中は赤球個，白球個になる。したがってこの場合の2回目の赤確率は である。
1回目に白球が出た場合，箱の中は赤球個，白球個になる。したがってこの場合の2回目の赤確率は である。
よって2回目に赤球が出る確率は である。これが1回目の赤確率に等しい条件は である。両辺にを掛けると であり，整理して となる。したがって条件は である。
(2)
のとき，赤が出ても白が出ても，取り出した球をそのまま戻すことになる。したがって各回の赤確率は常に，赤が出ない確率はである。 が勝つのは，初めて赤が出る回が回目のときである。よって求める確率は
である。これは初項，公比の等比級数なので である。