問題
頂点a，b，c，dの正四面体がある．次の各問に答えよ．
(1) は，ある頂点から他の頂点に移動し，どの観測時刻においてもこれらの頂点のいずれかに存在している．が頂点dに存在する確率がという仮説をたてた．この仮説の正しさを調べるために，の位置を異なる時刻で10回観測したところ，そのうち6回頂点dに存在した．この仮説の正しさを有意水準5％で検定せよ．
(2) は，頂点aから出発し，1分毎に他の頂点へ等しい確率で進むものとする．分後にが頂点a，b，c，dに達する確率をそれぞれ，，，とする．
（ア） を求めよ．
（イ） 任意のに対して，であることを証明せよ．
（ウ） を求めよ．
方針
(1)は仮説が正しいとしたとき，10回中回以上頂点にいる確率を二項分布で計算し，有意水準と比較する。(2)は対称性を使う。頂点にいる確率だけをまず漸化式で求めると，残り3頂点の確率は等しい。を解き，もそこから出す。
解答
(1)
仮説が正しいなら，各観測でが頂点にいる確率はである。10回の観測で頂点にいる回数をとすると，は成功確率，試行回数の二項分布に従う。
観測された値は回である。仮説のもとで回以上となる確率は
である。計算すると である。これはより小さい。
したがって，この観測結果は仮説のもとでは起こりにくい。よって有意水準で，が頂点に存在する確率がであるという仮説は棄却される。
（2）（ア） は1分ごとに現在いる頂点以外の3頂点へ等確率で移る。頂点にいる確率をとおく。分後ににいるには，分後に以外にいて，そこからへ移ればよい。したがって である。初期値はである。 なので である。したがって
である。
（イ）
頂点と頂点は，出発点および移動規則に対して完全に対称である。より具体的には，との名前を入れ替えても，出発点も移動の確率も変わらない。したがって任意のについて，頂点にいる場合と頂点にいる場合は同じ確率で起こる。
よって である。
（ウ）
同じ対称性により，頂点以外の3頂点にいる確率は等しい。したがって である。(ア)の結果を代入して
である。