名古屋大学 1994年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$k$ ， $n$ を正整数とする． $I (k, n)$ を

I (k, n) = \int_{0}^{1} x^{2 k} cos nπ x d x

で与えられる定積分の値とするとき，次の問に答えよ．

(1) $I (1, n)$ を求めよ．

(2) $I (k, n)$ を $I (k - 1, n)$ で表せ．これを利用して $I (k, n)$ が

I (k, n) = i = 1 \sum k \frac{( - 1 ) ^{n + i - 1} ( 2 k ) !}{( nπ ) ^{2 i} ( 2 k - 2 i + 1 ) !}

となることを示せ．

(3) 積分 $J = \int_{0}^{1} (A_{0} + A_{1} cos π x - x^{2 k})^{2} d x$ を最小にする定数 $A_{0}$ ， $A_{1}$ の値を求めよ．また，そのときの最小値 $J_{min}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)(2)は $c = nπ$ とおき，部分積分を2回行う。境界で $sin c = 0$ ， $cos c = (- 1)^{n}$ となることを使い， $I (k, n)$ を $I (k - 1, n)$ で表す。閉じた形は漸化式を繰り返して得る。符号と階乗の落ち方を明確にするため，最初の数項を意識して一般項を書く。(3)は $J$ を $A_{0}, A_{1}$ について平方完成する。 $1$ と $cos π x$ の積分が $0$ であることを使い，係数を独立に決める。

解答

(1)

$c = nπ$ とおく。まず $I (1, n) = \int_{0}^{1} x^{2} cos c x d x$ である。部分積分により

I (1, n) = [\frac{x ^{2} sin c x}{c}]_{0}^{1} - \frac{2}{c} \int_{0}^{1} x sin c x d x = - \frac{2}{c} \int_{0}^{1} x sin c x d x

である。さらに

\int_{0}^{1} x sin c x d x = [- \frac{x cos c x}{c}]_{0}^{1} + \frac{1}{c} \int_{0}^{1} cos c x d x = - \frac{( - 1 ) ^{n}}{c}

である。したがって $I (1, n) = \frac{2 ( - 1 ) ^{n}}{( nπ ) ^{2}}$ である。

(2)

同じく $c = nπ$ とおく。部分積分により

I (k, n) = \int_{0}^{1} x^{2 k} cos c x d x = [\frac{x ^{2 k} sin c x}{c}]_{0}^{1} - \frac{2 k}{c} \int_{0}^{1} x^{2 k - 1} sin c x d x

である。 $sin c = 0$ なので $I (k, n) = - \frac{2 k}{c} \int_{0}^{1} x^{2 k - 1} sin c x d x$ である。

さらに

\int_{0}^{1} x^{2 k - 1} sin c x d x = [- \frac{x ^{2 k - 1} cos c x}{c}]_{0}^{1} + \frac{2 k - 1}{c} \int_{0}^{1} x^{2 k - 2} cos c x d x

であり， $cos c = (- 1)^{n}$ より $\int_{0}^{1} x^{2 k - 1} sin c x d x = - \frac{( - 1 ) ^{n}}{c} + \frac{2 k - 1}{c} I (k - 1, n)$ である。したがって

I (k, n) = \frac{2 k ( - 1 ) ^{n}}{( nπ ) ^{2}} - \frac{2 k ( 2 k - 1 )}{( nπ ) ^{2}} I (k - 1, n)

を得る。

この漸化式を繰り返すと

I (k, n) = \frac{2 k ( - 1 ) ^{n}}{( nπ ) ^{2}} - \frac{2 k ( 2 k - 1 )}{( nπ ) ^{2}} \frac{2 ( k - 1 ) ( - 1 ) ^{n}}{( nπ ) ^{2}} + \dots

となる。第 $i$ 項では，分子に $(2 k) (2 k - 1) \dots (2 k - 2 i + 2)$ が現れ，最後に $2 k - 2 i + 2$ に対応する項から $2 k - 2 i + 2) (- 1)^{n}$ が入る。整理すると $I (k, n) = \sum_{i = 1}^{k} \frac{( - 1 ) ^{n + i - 1} ( 2 k )!}{( nπ ) ^{2 i} ( 2 k - 2 i + 1 )!}$ である。

(3)

$J$ を展開する。まず $\int_{0}^{1} cos π x d x = 0, \int_{0}^{1} cos^{2} π x d x = \frac{1}{2}$ であり，また

\int_{0}^{1} x^{2 k} d x = \frac{1}{2 k + 1}, \int_{0}^{1} x^{2 k} cos π x d x = I (k, 1)

である。よって

J = \int_{0}^{1} x^{4 k} d x + A_{0}^{2} + \frac{1}{2} A_{1}^{2} - 2 A_{0} \int_{0}^{1} x^{2 k} d x - 2 A_{1} I (k, 1)

である。すなわち $J = \frac{1}{4 k + 1} + A_{0}^{2} - \frac{2 A _{0}}{2 k + 1} + \frac{1}{2} A_{1}^{2} - 2 A_{1} I (k, 1)$ である。

平方完成すると

J = \frac{1}{4 k + 1} - \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}} - 2 {I (k, 1)}^{2} + (A_{0} - \frac{1}{2 k + 1})^{2} + \frac{1}{2} (A_{1} - 2 I (k, 1))^{2}

である。したがって $J$ を最小にするのは $A_{0} = \frac{1}{2 k + 1}, A_{1} = 2 I (k, 1)$ のときであり，その最小値は $J_{m i n} = \frac{1}{4 k + 1} - \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}} - 2 {I (k, 1)}^{2}$ である。

名古屋大学 1994年度後期・理系数学 後期第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 1994年度
後期・理系数学後期第3問