名古屋大学 1994年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$x y z$ 空間内に，平面

x + y + z = 0 (以後， π 平面と呼ぶ)

と点 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ を考える．以下の各問に答えよ．なお，点 $A$ の $π$ 平面への正射影とは，点 $A$ の $π$ 平面への垂線の足をいう．ベクトル $e$ の $π$ 平面への正射影とは，ベクトル $e$ の始点と終点それぞれの $π$ 平面への正射影を始点，終点とするベクトルをいう．

(1) $x$ 軸， $y$ 軸， $z$ 軸方向の単位ベクトル（原点を始点とする）をそれぞれ $e_{1}$ ， $e_{2}$ ， $e_{3}$ とし，それらの $π$ 平面への正射影 $e_{1}^{'}$ ， $e_{2}^{'}$ ， $e_{3}^{'}$ を求めよ．また，ベクトル $e_{1}^{'}$ ， $e_{2}^{'}$ ， $e_{3}^{'}$ 相互の角度を求めよ．

(2) 点 $A$ の $π$ 平面への正射影を $A^{'}$ とする． $x_{1} ≧ y_{1} ≧ z_{1}$ を満足する時，点 $A^{'}$ のとりうる $π$ 平面上の領域を，ベクトル $e_{1}^{'}$ ， $e_{2}^{'}$ ， $e_{3}^{'}$ を含む $x^{'}$ 軸， $y^{'}$ 軸， $z^{'}$ 軸とともに，図示せよ．

(3) 3つの値 $x_{1}$ ， $y_{1}$ ， $z_{1}$ のうち最大値と最小値との差が一定値 $k$ $(k > 0)$ をとるように点 $A$ が動くとき，点 $A^{'}$ が動く軌跡を $π$ 平面上に図示せよ．また，その軌跡の長さを求めよ．

出典：名古屋大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$π$ 平面の法線方向は $(1, 1, 1)$ である。したがって正射影は，点またはベクトルから法線方向の成分を引いて求める。(1)では $e_{i}^{'}$ を成分で出し，長さと内積から相互の角度を求める。(2)では $e_{1}^{'} + e_{2}^{'} + e_{3}^{'} = 0$ を使い， $x_{1} ≧ y_{1} ≧ z_{1}$ を非負係数の組に直して扇形領域を得る。(3)では最大値と最小値の差だけが問題なので，3つの値から同じ数を引いて，最小を $0$ ，最大を $k$ に直す。すると軌跡は6本の線分からなる正六角形になる。

解答

(1)

$π$ 平面は $x + y + z = 0$ であり，その法線方向は $(1, 1, 1)$ である。点 $(x, y, z)$ から $π$ 平面への正射影は $(x, y, z) - \frac{x + y + z}{3} (1, 1, 1)$ で与えられる。

よって

e_{1}^{'} = (\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}), e_{2}^{'} = (- \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, - \frac{1}{3}), e_{3}^{'} = (- \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{2}{3})

である。

これらの長さはすべて

(\frac{2}{3})^{2} + (- \frac{1}{3})^{2} + (- \frac{1}{3})^{2} = \frac{6}{3}

である。また，異なる2つの内積は，例えば

e_{1}^{'} \cdot e_{2}^{'} = - \frac{2}{9} - \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = - \frac{1}{3}

である。したがってなす角 $θ$ は $cos θ = \frac{- 1/3}{( 6 /3 ) ^{2}} = - \frac{1}{2}$ を満たすので $θ = 12 0^{\circ}$ である。

(2)

点 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ の正射影 $A^{'}$ について

O A^{'} = x_{1} e_{1}^{'} + y_{1} e_{2}^{'} + z_{1} e_{3}^{'}

である。また

e_{1}^{'} + e_{2}^{'} + e_{3}^{'} = 0

である。 $x_{1} ≧ y_{1} ≧ z_{1}$ のとき，

O A^{'} = (x_{1} - y_{1}) e_{1}^{'} + (y_{1} - z_{1}) (- e_{3}^{'})

と書ける。ここで $x_{1} - y_{1} ≧ 0$ ， $y_{1} - z_{1} ≧ 0$ である。したがって $A^{'}$ のとりうる領域は， $e_{1}^{'}$ の方向の半直線と $- e_{3}^{'}$ の方向の半直線にはさまれた領域である。 $e_{1}^{'}$ と $- e_{3}^{'}$ のなす角は $6 0^{\circ}$ であるから，図示すべき領域は， $x^{'}$ 軸の正方向と $z^{'}$ 軸の負方向にはさまれた $6 0^{\circ}$ の扇形領域である。境界も含む。

(3)

$x_{1}, y_{1}, z_{1}$ に同じ数を加えても， $A^{'}$ は変わらない。実際，

e_{1}^{'} + e_{2}^{'} + e_{3}^{'} = 0

だからである。したがって，最大値と最小値の差だけを見るときは，最小値を $0$ ，最大値を $k$ として考えてよい。

たとえば $x_{1} = k$ ， $z_{1} = 0$ ， $0 ≦ y_{1} ≦ k$ とすると，

O A^{'} = k e_{1}^{'} + y_{1} e_{2}^{'}

であり，これは $k e_{1}^{'}$ から $- k e_{3}^{'}$ までの線分を動く。同様に，どの座標が最大でどの座標が最小かを入れ替えると，軌跡は

\pm k e_{1}^{'}, \pm k e_{2}^{'}, \pm k e_{3}^{'}

を頂点とする正六角形の周である。

隣り合う頂点，たとえば $k e_{1}^{'}$ と $- k e_{3}^{'}$ の距離は

k ∣ e_{1}^{'} + e_{3}^{'} ∣ = k ∣ - e_{2}^{'} ∣ = \frac{6}{3} k

である。よって軌跡の長さは $6 \cdot \frac{6}{3} k = 26 k$ である。

名古屋大学 1994年度後期・理系数学 後期第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 1994年度
後期・理系数学後期第1問