名古屋大学 1994年度
後期・理系数学 後期第2問

解答

(1)

$u=a^x$とおく。$a>0$，$a\ne 1$であり，$x=0$では分母が$0$になるので定義されない。したがって$u>0$，$u\ne 1$である。

このとき

である。 $u>1$なら $\frac{u^2+1}{u^2-1}=1+\frac{2}{u^2-1}>1$ である。また$0<u<1$なら分母が負で，$\frac{u^2+1}{u^2-1}=-1+\frac{2u^2}{u^2-1}<-1$ である。

逆に，$u\to 1+0$で$f(x)\to +\infty$，$u\to \infty$で$f(x)\to 1+0$であるから，$(1,\infty )$の値はすべてとる。さらに$u\to 1-0$で$f(x)\to -\infty$，$u\to +0$で$f(x)\to -1-0$であるから，$(-\infty ,-1)$の値もすべてとる。

よって値域は $\boxed{(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )}$ である。

(2)

$\lambda =\log a$とおく。$a>0$，$a\ne 1$より$\lambda \ne 0$である。また$a^x=e^{\lambda x}$なので，$f(x)$の符号は$\lambda x$の符号と同じである。

方程式$f(x)-bx=0$は $b=\frac{f(x)}{x}$ と見ればよい。

まず$\lambda >0$，すなわち$a>1$の場合を考える。このとき$x>0$なら$f(x)>0$，$x<0$なら$f(x)<0$であるから，どちらの場合も$f(x)/x>0$である。さらに$x>0$で

である。連続性より，任意の$b>0$に対して$f(x)/x=b$を満たす$x>0$が存在する。一方，$b\leqq 0$では$f(x)/x>0$に反するので解はない。

次に$\lambda <0$，すなわち$0<a<1$の場合を考える。このとき$f(x)$と$x$の符号は反対になるから，$f(x)/x<0$である。また同様に連続性から，$f(x)/x$は負の値をすべてとる。したがって解が存在するのは$b<0$のときに限られる。

以上をまとめると，求める条件は $\boxed{b\log a>0}$ である。