名古屋大学 1991年度
理系数学 第4問(b)

解答

$\angle OAB=\alpha ,t=\tan \alpha$ とおく。直角三角形なので $0<\alpha <90^{\circ }$、したがって $t>0$ である。座標を $O=(0,0),A=(1,0),B=(0,t)$ と定める。

反射の法則を使うために、反射する辺を鏡として三角形を次々に展開する。すると、実際の折れ線の経路は展開図では一直線になる。3つの辺すべてに1回ずつ当たる順序を調べると、反射点がすべて辺の内部に入り得るのは $OB\to AB\to OA$ の順だけである。他の順序では、展開図で直線が最初または最後に頂点 $A,B$ を通ってしまうか、反射点が対応する辺分の外に出る。

そこで、この順に展開する。すなわち、まず辺 $OB$ で反射し、次に展開された辺 $AB$ で反射し、最後に展開された辺 $OA$ で反射する。3回展開した後の $B$ を反射して得た点を $B^{\prime }$ とすると、反射計算により $B^{\prime }=\left(-\frac{4t^2}{1+t^2},-\frac{t(t^2-3)}{1+t^2}\right)$ である。したがって、展開図での玉の道筋は直線 $A{B}^{\prime }$ である。

この直線が、1回目、2回目、3回目の反射辺と交わる点をそれぞれ調べる。各反射辺上で、端点から端点までの割合を計算すると、順に

となる。これらがすべて辺の内部にあるためには、いずれも $0$ より大きく $1$ より小さくなければならない。

第1、第2の割合が正であるためには $t^2<3$ が必要であり、第3の割合が正であるためには $t^2>\frac{1}{3}$ が必要である。また、それぞれが $1$ より小さい条件からも同じく $t^2>\frac{1}{3},t^2<3$ が出る。したがって反射点が3つとも辺の内部に入る条件は $\frac{1}{3}<t^2<3$ である。

さらに、直線 $A{B}^{\prime }$ が3つの反射辺をこの順に横切る条件も同じ不等式で表される。実際、直線上の進行割合は $\frac{1+t^2}{1+5t^2},\frac{1}{2},\frac{4}{t^2+5}$ となり、これらがこの順に並ぶことは $\frac{1}{3}<t^2<3$ と同値である。

よって $\frac{1}{\sqrt{3}}<t<\sqrt{3}$ である。$t=\tan \alpha$、$0<\alpha <90^{\circ }$ だから $\boxed{30^{\circ }<\alpha <60^{\circ }}$ である。すなわち求める条件は $\boxed{30^{\circ }<\angle OAB<60^{\circ }}$ である。