問題
， 2人がそれぞれくじの入った箱を持っている．引いたくじはまたもとの箱に戻すものとし，が当たりくじを引く確率を，が当たりくじを引く確率をとする．ただし，，とする．から始めて交互にくじを引き，1回目の当たりくじをどちらが引くかによらず，両者を通じて2回目の当たりくじを引いた人を勝ちとする．
との試行があわせて回に達するまでにが勝つ確率を，が勝つ確率をとする．
(1) ，を求めよ．
(2) を求めよ．
方針
勝敗は「全体で2回目の当たり」がどの試行で出るかで決まる。 が勝つのは、 の 回目、すなわち全体の 回目が2回目の当たりになる場合である。その直前までの 組の試行で当たりがちょうど1回出ている確率を、 側で出た場合と 側で出た場合に分けて数える。、 と置くと和が等比級数の微分型になる。
解答
(1)
回までの試行順は である。 が勝つには、 が全体で2回目の当たりでなければならない。そのためには、 のうちちょうど1回当たりが出て、さらに が当たればよい。したがって であり である。 が勝つ場合は、 が2回目の当たりになる場合と、 が2回目の当たりになる場合に分ける。 が2回目になるには がともに当たりなので、確率は である。
次に が2回目になるには、 のうちちょうど1回当たりが出て、さらに が当たればよい。最初の3回で当たりがちょうど1回出る確率は である。よって である。
(2)
とおく。 は、 が1回ずつ引いてどちらも外れる確率であり、 はその2回のうちちょうど1回だけ当たる確率である。 の 回目の試行は、全体では 回目である。これが全体で2回目の当たりになるためには、その直前まで、つまり と の試行がそれぞれ 回ずつ終わった時点で、当たりがちょうど1回出ていなければならない。 組のうち、当たりが出る組を1つ選ぶ方法は 通りである。その組でちょうど1回当たりが出る確率は 、残りの 組ですべて外れる確率は である。したがって、直前までに当たりがちょうど1回である確率は である。さらに が当たる確率 を掛けると、 で が勝つ確率は である。 回までに が勝つには、 のいずれかで上のことが起こればよい。よって である。
ここで であるから である。ただし である。