名古屋大学 1991年度理系数学第2問解答・解説

問題

$f (t) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} ∣ cos x - t sin x ∣ d x$ とおく．

(1) $cos θ = t sin θ$ $(0 < θ < \frac{π}{2}, t > 0)$ のとき， $sin θ$ ， $cos θ$ を $t$ で表せ．

(2) 関数 $f (t)$ の $t > 0$ における最小値を求めよ．

出典：名古屋大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

絶対値の中身 $cos x - t sin x$ が符号を変える点を $θ$ とする。 $cos θ = t sin θ$ から $sin θ$ 、 $cos θ$ を $t$ で表し、積分区間を $[0, θ]$ と $[θ, π /2]$ に分ける。すると $f (t) = 2 1 + t^{2} - t - 1$ まで整理できるので、微分して最小値を求める。端に近づく場合も確認し、臨界点が本当に最小であることを押さえる。

解答

(1)

$cos θ = t sin θ$ であり、 $0 < θ < π /2$ 、 $t > 0$ だから $sin θ > 0$ 、 $cos θ > 0$ である。よって $tan θ = \frac{1}{t}$ である。直角三角形で、向かい合う辺を $1$ 、隣の辺を $t$ と見れば斜辺は $1 + t^{2}$ である。したがって

sin θ = \frac{1}{1 + t ^{2}}, cos θ = \frac{t}{1 + t ^{2}}

である。

(2)

$cos x - t sin x$ は $x = θ$ で0になる。また $0 ≦ x < θ$ では正、 $θ < x ≦ π /2$ では負である。したがって

f (t) = \int_{0}^{θ} (cos x - t sin x) d x + \int_{θ}^{π /2} (t sin x - cos x) d x

である。

第1項は $[sin x + t cos x]_{0}^{θ} = sin θ + t cos θ - t$ であり、第2項は

[- t cos x - sin x]_{θ}^{π /2} = t cos θ + sin θ - 1

である。よって $f (t) = 2 (sin θ + t cos θ) - t - 1$ となる。(1)を代入すると

sin θ + t cos θ = \frac{1}{1 + t ^{2}} + \frac{t ^{2}}{1 + t ^{2}} = 1 + t^{2}

だから $f (t) = 2 1 + t^{2} - t - 1$ である。

微分すると $f^{'} (t) = \frac{2 t}{1 + t ^{2}} - 1$ である。 $f^{'} (t) = 0$ は $2 t = 1 + t^{2}$ と同値であり、 $t > 0$ より $4 t^{2} = 1 + t^{2}$ なので $t = \frac{1}{3}$ である。また $f^{''} (t) = \frac{2}{( 1 + t ^{2} ) ^{3/2}} > 0$ であるから、この点で最小をとる。

したがって最小値は

f (\frac{1}{3}) = 2 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} - 1 = 3 - 1

である。

名古屋大学 1991年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1991年度
理系数学第2問