名古屋大学 1991年度理系数学第3問解答・解説

問題

関数 $f_{n} (x)$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ を次によって定める．

f_{1} (x) = x, f_{n} (x) = x + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- x + y} f_{n - 1} (y) d y (n = 2, 3, \dots\dots)

このとき，次の問に答えよ．

(1) $f_{2} (x)$ を求めよ．

(2) $f_{n} (x)$ を求めよ．

(3) $n \to \infty lim f_{n} (x)$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

定義式の積分部分は、 $x$ に関しては常に $e^{- x}$ 倍の定数になる。そこで $f_{n} (x) = x + C_{n} e^{- x}$ の形を予想し、代入して係数 $C_{n}$ の漸化式に落とす。 $f_{1} (x) = x$ から $C_{1} = 0$ 、 $C_{n} = (1 + C_{n - 1}) /2$ が得られるので、これを解いて一般項を出す。最後に $n \to \infty$ として係数の極限を取る。

解答

(1)

定義より

f_{2} (x) = x + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- x + y} y d y = x + \frac{1}{2} e^{- x} \int_{0}^{1} y e^{y} d y

である。部分積分により $\int_{0}^{1} y e^{y} d y = [y e^{y}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{y} d y = e - (e - 1) = 1$ である。したがって $f_{2} (x) = x + \frac{1}{2} e^{- x}$ である。

(2)

$f_{n} (x) = x + C_{n} e^{- x}$ の形になることを示す。 $f_{1} (x) = x$ だから $C_{1} = 0$ である。いま $f_{n - 1} (x) = x + C_{n - 1} e^{- x}$ と書けるとする。このとき $f_{n} (x) = x + \frac{1}{2} e^{- x} \int_{0}^{1} e^{y} {y + C_{n - 1} e^{- y}} d y$ である。すでに $\int_{0}^{1} y e^{y} d y = 1$ であり、また $\int_{0}^{1} e^{y} C_{n - 1} e^{- y} d y = C_{n - 1}$ であるから $f_{n} (x) = x + \frac{1}{2} (1 + C_{n - 1}) e^{- x}$ となる。よって $C_{n} = \frac{1 + C _{n - 1}}{2}$ である。

この漸化式は $1 - C_{n} = \frac{1}{2} (1 - C_{n - 1})$ と変形できる。 $C_{1} = 0$ なので $1 - C_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}$ であり $C_{n} = 1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}$ である。したがって $f_{n} (x) = x + (1 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}) e^{- x}$ である。

(3)

(2)の式で $\frac{1}{2 ^{n - 1}} \to 0$ だから、各 $x$ について $n \to \infty lim f_{n} (x) = x + e^{- x}$ である。

名古屋大学 1991年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 1991年度
理系数学第3問