名古屋大学 1985年度理系数学第4問解答・解説

問題

$k$ ， $n$ を2つの自然数， $k ≦ n$ とし，1から $n$ までの自然数から重複を許して任意に選んだ2つの数の和 $X$ が $k$ をこえない確率を $p (n, k)$ とする．

(1) $p (n, k)$ を求めよ．

(2) $0 < a < \frac{1}{2}$ を満たす定数 $a$ と $n$ とに対して， $p (n, k) ≦ a$ であるような $k$ の最大値を $M (n, a)$ とする． $n \to \infty lim \frac{M ( n , a )}{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

2つの数を順序つきの組 $(i, j)$ として数える。 $k ≦ n$ なので， $i + j ≦ k$ を満たす組は $1 + 2 + \dots + (k - 1)$ 個であり，上限 $n$ による切れ目を考えなくてよい。(2) は最大値 $M$ の定義から， $M$ では不等式が成り立ち， $M + 1$ では成り立たないという両側評価を作って極限をはさむ。

解答

(1)

選んだ2つの数を，順序を区別して $(i, j)$ と表す。重複を許して1から $n$ までの自然数から選ぶので，全体は $n^{2}$ 通りである。

和 $X = i + j$ が $k$ をこえない条件は $i + j ≦ k$ である。ここで $k ≦ n$ なので， $i, j$ が $n$ をこえる心配はない。 $i = 1, 2, \dots, k - 1$ に対して， $j$ は $1 ≦ j ≦ k - i$ を満たす。したがって条件を満たす組の数は $(k - 1) + (k - 2) + \dots + 1 = \frac{k ( k - 1 )}{2}$ である。

よって $p (n, k) = \frac{k ( k - 1 )}{2 n ^{2}}$ である。

(2)

$M = M (n, a)$ とおく。まず $p (n, n) = (n - 1) / (2 n) \to 1/2 > a$ だから，十分大きい $n$ では $M < n$ であり， $M + 1$ も定義範囲に入る。このような $n$ について， $M$ の定義と最大性から $\frac{M ( M - 1 )}{2 n ^{2}} ≦ a$ かつ $\frac{( M + 1 ) M}{2 n ^{2}} > a$ である。したがって $\frac{M ( M - 1 )}{n ^{2}} ≦ 2 a < \frac{M ( M + 1 )}{n ^{2}}$ となる。

これを

(\frac{M}{n})^{2} - \frac{M}{n ^{2}} ≦ 2 a < (\frac{M}{n})^{2} + \frac{M}{n ^{2}}

と書く。ここで $0 < a < 1/2$ なので， $2 a < 1$ である。また $M ≦ n$ だから $0 ≦ \frac{M}{n ^{2}} ≦ \frac{1}{n}$ であり，これは $n \to \infty$ で0に近づく。したがって上の両側評価から $(\frac{M}{n})^{2} \to 2 a$ である。 $M / n ≧ 0$ だから $lim_{n \to \infty} \frac{M ( n , a )}{n} = 2 a$ である。

名古屋大学 1985年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1985年度
理系数学第4問