問題
平面上で，曲線と軸とで囲まれた図形（境界を含む）に含まれる最長の線分の長さを求めよ．
出典：名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
領域は ， で表される。最長線分は境界上の2点で決まり，上側の線分上の点を端点にする場合も端の点へ動かせるので，放物線上の2点を結ぶ距離の最大化に帰着できる。2点を と置き，， によって条件と距離を整理する。
解答
与えられた図形は で表される閉じた図形である。最長の線分は，この図形の境界上の2点を結ぶものとしてよい。もし端点が内部にあれば，同じ直線方向に動かして境界まで延ばせるからである。
さらに，上側の境界 上の点を一方の端点にする場合を考える。他方の点を固定すると， までの距離の2乗は についての2次関数であり，区間 での最大は端点 または で生じる。この2点は放物線上にもある。したがって，放物線上の2点の距離を最大にすれば十分である。
放物線上の2点を とおく。ただし である。距離の2乗は
である。
ここで とおく。， がともに にある条件は であり，これは と同値である。また である。符号を変えても値は変わらないので， としてよい。このとき条件は である。
固定した に対して， は が大きいほど大きいので，最大では である。よって を最大化すればよい。微分すると
である。したがって候補は である。
値を比べると また
である。したがって最大値は である。
よって最長の線分の長さは である。