名古屋大学 1985年度
理系数学 第2問

解答

{(1)与えられた行列は

である。問題で定めた

を計算すると

である。これは $A$ の逆行列の公式で現れる行列である。

実際，$\det A=\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}-a\right)+b^2$ であり，$\det A=1$ なら

となる。したがって $\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}-a\right)+b^2=1$ となるように $b$ を選べばよい。

すなわち $b^2=1-\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}-a\right)$ とすればよい。ここで $X=a-\frac{1}{2},Y=\frac{\sqrt{5}}{2}-a$ とおくと $X+Y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ である。和が一定の2数の積は，2数が等しいとき最大になるので $XY\leqq \frac{(X+Y{)}^2}{4}=\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{16}<1$ である。よって $1-XY>0$ であり，任意の実数 $a$ に対して実数 $b$ を選ぶことができる。

(2)

(1) のように $b$ を選ぶと $B=A^{-1}$ である。したがって $A+A^{-1}=A+B$ であり，成分を足すと

である。ここで $\lambda =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ とおくと $A+A^{-1}=\lambda I$ である。また ${\lambda }^2+\lambda =1$ が成り立つ。よって $(A+A^{-1}{)}^2+(A+A^{-1})=({\lambda }^2+\lambda )I=I$ である。

次に $A^5=I$ を示す。$A+A^{-1}=\lambda I$ の両辺に右から $A$ を掛けると $A^2+I=\lambda A$ である。したがって $A^2=\lambda A-I$ である。これを順に用いると

である。したがって

が示された。}